Álgebra Linear

1 a v w 1 2 2 5 1 2 2 5 3 7 b 3v 3 1 2 31 32 3 6 c 2v 4w 2 1 2 4 2 5 21 22 42 45 2 4 8 20 2 8 4 20 6 16 2v 4w 16 6 2 5 7 6 vW v 3v v 1 2 3 x 6 2 5 7 2 Quero encontrar a 1 a 2 a 3 R tais que a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 W Diga que a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 a 1 2 1 0 a 2 1 1 0 a 3 0 0 6 2 a 1 1 a 1 0 a 1 1 a 2 1 a 2 0 a 2 0 a 3 0 a 3 6 a 3 1 2 a 1 1 a 2 0 a 3 2 1 a 1 1 a 2 0 a 3 0 a 1 0 a 2 6 a 3 2 1 0 1 1 0 0 0 6 a 1 a 2 a 3 ou seja a 1 v 1 a 2 v 2 a 3 v 3 W pode ser escrito como A x W em que A é uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores v 1 v 2 v 3 e x é um vetor cujas coordenadas são os coeficientes a 1 a 2 a 3 que se deseja encontrar A x W pode ser escrito na forma de matriz aumentada A W 2 1 0 7 1 1 0 2 0 0 6 4 Podemos resolver o sistema A x W por combinações lineares das linhas de A W 2 1 0 7 1 1 0 2 0 0 6 4 L 1 L 1 2 L 2 0 3 0 3 1 1 0 2 0 0 6 4 L 1 13 L 1 0 1 0 1 1 1 0 2 0 0 6 4 L 2 L 2 L 1 0 1 0 1 1 0 0 3 0 0 6 4 L 3 16 L 3 0 1 0 1 1 0 0 3 0 0 1 46 23 a 1 a 2 a 3 a 2 1 3 23 W 3 v 1 v 2 23 v 3 2 Atividade avaliatia P2 1 Considere os vetores v 1 2 e w 2 5 Encontre e esboce cada vetor a v w b 3v c 2v 4w 2 Escreva v 7 2 4 como uma combinação linear dos vetores v 1 v 2 e v 3 se possível v 1 2 1 0 v 2 1 1 0 v 3 0 0 6 3 Escreva a terceira coluna da matriz como uma combinação linear das primeiras duas colunas se possível 1 0 2 4 2 2 7 5 1 4 Use um software ou uma ferramenta computacional para escrever v como uma combinação linear de u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 e u 6 Em seguida verifique sua solução v 10 30 13 14 7 27 u 1 1 2 3 4 1 2 u 2 1 2 1 1 2 1 u 3 0 2 1 2 1 1 u 4 1 0 3 4 1 2 u 5 1 2 1 1 2 3 u 6 3 2 1 2 3 0 5 Demonstre que o conjunto de todas as matrizes singulares 3 x 3 não é um espaço vetorial 6 Determine se o conjunto é um subespaço de R 4 x x y y y x y e R 7 Determine se o conjunto é um subespaço de R 3 x xy y x y e R 8 Determine se as colunas da matriz A geram R 4 1 2 1 0 1 3 0 2 0 0 1 1 1 0 0 1 9 a Explique o que significa dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente b Determine se o conjunto s é linearmente dependente ou independente S 1 0 1 0 0 3 0 1 1 1 2 2 3 4 1 2 10 a Defina uma base de um espaço vetorial b Determine se o conjunto v 1 v 2 mostrado na figura à direita é uma base de R 2 c Determine se o conjunto abaixo é uma base de R 3 1 2 1 0 1 2 2 1 3 11 Encontre uma base do espaço solução de Ax 0 quando A 1 1 0 0 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 Figura para 10b 12 Encontre as coordenadas v B do vetor v 1 2 3 em relação a base B 0 1 1 1 1 1 1 0 1 13 Encontre a matriz de transição da base B 2 1 0 1 0 0 0 1 1 para a base B 1 1 2 1 1 1 0 1 2 Chamando a matriz A 1 0 2 4 2 2 7 5 1 Chamando as colunas de A de v1 v2 v3 respectivamente queremos encontrar a1 a2 R tais que a1 v1 a2 v2 v3 Tal combinação linear equivale ao sistema Abar x v3 em que as colunas de Abar correspondem a v1 v2 e as coordenadas de x são a1 a2 nesta ordem Podemos escrever o sistema Abar x v3 na forma de matriz aumentada Abarv3 1 0 2 2 4 2 2 6 7 5 1 15 L2 L2 4L1 L3 L3 7L1 1 0 2 2 0 2 2 6 0 5 15 15 L2 12 L2 L3 15 L3 1 0 2 2 0 1 1 3 0 1 3 3 a1 2 a2 3 a2 3 2 2 1 2 1 4 7 3 0 2 5 V 5u1 u2 u3 2u4 5u5 3u6 Uma forma de verificar se as colunas de A geram R4 é verificar se b R4 x R4 tal que A x b sendo b α β γ δT Ab 1 2 1 0 α 1 3 0 2 β 0 0 1 1 γ 1 0 0 1 δ L1 L1 L4 L2 L2 L4 0 2 1 1 α δ 0 3 0 1 β δ 0 0 1 1 γ 1 0 0 1 δ L2 13 L2 0 2 1 1 α δ 0 1 0 13 β δ3 0 0 1 1 γ 1 0 0 1 δ L1 L1 2 L2 0 0 1 53 3α 2β δ3 0 1 0 13 β δ3 0 0 1 1 γ 1 0 0 1 δ L1 L1 L3 0 0 0 83 3a 2β 3r 83 0 1 0 13 β 53 0 0 1 1 6 1 0 0 1 8 L1 38 L4 0 0 0 1 3a 2β 2r 83 0 1 0 13 β 53 0 0 1 1 r 1 0 0 1 8 L2 L2 13 L1 L3 L3 L1 L4 L4 L1 0 0 0 1 3a 2β 2r 83 3a 10β 28 7β24 0 1 0 0 3a 2β 10r 83 1 0 0 0 3a 2β 2r 7β8 Como para todos vetores de R4 existem coeficientes reais para escrevelos como combinações lineares das colunas de A estas geram R2 9 a Significa dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais Equivalentemente há uma única maneira de escrever o vetor nulo como combinação dos vetores do conjunto quando todos os coeficientes são nulos 6 b Chamando v1 1010 v2 0301 v3 1122 v4 3412 A v1 v2 v3 v4 Resolver a1 v1 a2 v2 a3 v3 a4 v4 0 equivalente a resolver A a1 a2 a3 a4 0 que pode ser escrito como A 0 1 0 1 3 0 0 3 1 4 0 1 0 2 1 0 0 4 2 2 0 L3 L3 L1 1 0 1 3 0 0 3 1 4 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 L2 L2 3L4 1 0 1 3 0 0 0 5 10 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 L2 L2 5L3 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 indica que há menos de quatro equações para quatro incógnitas ou seja S é linearmente dependente 7 10 a Seja V um espaço vetorial e seja S um subconjunto nãovazio de V S é base de V se Gera V É linearmente independente b S v1 v2 11 11 1 1 a L2 L2 L1 1 1 a 0 2 b a L2 12 L2 1 1 a 0 1 b a2 L1 L1 L2 1 0 a b2 0 1 b a2 logo para todo ab R2 a b2 v1 a b2 v2 ab ou seja S gera R2 Se a b 0 a b2 a b2 0 logo S é linearmente independente Portanto S é base de R2 c S 121 012 213 1 0 2 a L2 L2 2L1 0 1 1 b L3 L3 L1 1 2 3 c 1 0 2 a 0 1 1 b 2a 0 2 5 a c 8 L3 L3 2L2 1 0 2 2 0 1 3 2a6 0 0 1 3a2bc L1 L1 2L3 L2 L2 3L3 1 0 0 5a 4b 2c 0 1 0 7a 5b 3c 0 0 1 3a 2b c abc R3 5a 4b 2c v1 7a 5b 3c v2 3a 2b c v3 abc S gera R3 a b c 0 5a 4b 2c 7a 5b 3c 3a 2b c 0 S LI S base de R3 11 1 1 0 0 0 2 2 0 0 0 1 1 0 1 0 0 L2 L2 2L1 L4 L4 L1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 x1 x2 0 x2 x1 x3 x4 0 x4 x3 S x1 x2 x3 x4 R4 x2 x1 x4 x3 x1 x1 x3 x3 x1 x3 R x1 x1 0 0 0 0 x3 x3 x1 x3 R 9 x1 1 1 0 0 x3 0 0 1 1 x1 x3 R combinações lineares de 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 Diga que α R α0 1 α R α 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 LI Como também para S e base de S 12 vB α1 α2 α3 em que x1 v1 x2 v2 α3 v3 v1 sendo v2 0 1 1 v2 1 1 1 v3 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 1 1 3 L3 L3 L2 0 1 1 1 1 0 12 0 0 1 5 L1 L1 L3 0 1 0 6 1 1 0 2 0 0 1 5 L2 L2 L1 0 1 0 6 1 0 0 4 0 0 1 5 α2 6 α1 4 α3 5 vB 4 6 5 10 13 2 1 0 a 1 0 1 b 0 0 1 c L2 L2 L1 L3 2 1 0 a 1 0 0 b c 0 0 1 c L2 L2 2L2 0 1 0 a 2b 2c 1 0 0 b c 0 0 1 c x y z a 2b 2c b c c Para a b c 1 1 2 x y z 1 2 1 21 22 2 1 1 2 Para a b c 1 1 1 x y z 1 1 1 21 21 1 0 1 1 Para a b c 0 1 2 x y z 1 2 0 21 22 2 1 2 2 MB B 1 0 1 1 1 2 2 1 2