Algebra Linear - Exercícios Resolvidos 2a Unidade

(2015.2) Verifique se a linear transformação T: M2x2(IR) -> M2x2(R) tal que T(A) = A^T, onde A^T é a matriz transposta de A.\n\nA = [a b]\n [c d]\n\ng = a b\n c d\n\nT(A + B) = T(A) + T(B) = T(A) + T(B) = [e f]\n [g h]\n\nT(A) = [a c]\n [b d]\n\nT(A) + T(B) = [a c] + [e g] = [a + e b + f]\n [b d] [h d] [g + e d + h]\n\ntodas as entradas são retornadas com sua matriz transposta.\nT: M2x2(IR) -> M2x2(IR) / T(A) = A^T é uma função linear. (2014 21) a) Descreva as condições que uma transformação T: V -> W deve satisfazer para ser considerada uma transformação linear.\nT(u + v) = T(u) + T(v), u, v ∈ V \nT(cu) = cT(u), c ∈ R, u ∈ V \nb) Verifique se a transformação T: R^2 -> M2x2 dada pela fórmula T(x, y) = [2x y]\n [y 1] é uma transformação linear.\nSe por linear, T(u + v) + T(u, y): T(2u + x, 2y + 1).\nT(2u + y) ≠ T(2u + x, 2y)\na transformação não é linear. (2018) Indique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.\n(a) seja T: R^3 -> M2x2 dada por T(x,y,z) = [x^2 z 3y]\n [4xy - z]\nSe T for T_h: T(x,y,z) + T(u,v,w)= T(x,y,z) + T(u,v,w) = T(x+y, z+w)\nTf(x,y,z) + TC(u, y + z, w) = [x^2 z 3y + m + w 3y]\n = [x+y 4y - z]\n\ncomo x + u + z + w \n3(y+z) ≠ T(x,y,z) + w\nW = z - w\n\na transformação NÃO é linear logo é alternativo e falsa. Núcleo e Imagem\n(2019 II)\nSeja T: M2x2(R) → M2x2(R) a transformação linear\nT(x y) = | 2 1 |\n | -2 -4 |\n | x r| |z y|\n | y + 2w|\n | -2x - 12 - 2y - 4w|\n\n1) Determine bases para Ker(T) e Im(T).\n\n–x + 2z y + 2w = | 0 0 |\n–2y + 4z -2y - 1w = | 0 0 |\n\ny + 2w = 0 \n\ny = -2w e x = -2z\n\nKer(T) = {(-7z - 2w, z, w) | z, w ∈ R}\n\nKer(T) = {(-2z, 0, w) | z, w ∈ R}\n\nA base para o espaço nulo: β = {(-2, 0), (0, -1)}\n {1, 0}\n\nIm(T) = |x + 2z y + 2w|\n |-2y - 4z|\n\nIm(T) = |(x + 2) 0 0|\n |-2 0|\n |_0 -2 |\n\nIm(T) = ger {[1 0 0]}\n [ 0 1 0]\n [-2 0 0] Entendendo a Matriz de uma Th\nConsidere T: R³ → R² dada por T(x,y,z) = (x²y - z², y + 2y - 5z)\nDetermine T | can\nα = {(1,0,0),(0,0,1)} β = {(1,0),(0,1)}\naplicando a transformações:\n\nT((1,0,0)) = (1,-4) , T((0,1,0)) = (2,2) , T((0,0,1)) = (-3,-5)\nT((1,0,0)) = 1(1,0,1) + (-4)(0,1)\nT((0,1,0)) = 2(1,0,1)\nT((0,0,1)) = -3(1,0,1)\nT((0,0,1)) = -3(1,0)+(4)(1,0)\nT((0,0,1)) = - (1,4)+(-3)(5)(0,1) + (0,0)(0)\n\ntodos que mantém\nT | can = [1 2 -3]\n [-4 2 -5] calculando a matriz de uma transformação linear dada por\nT(a,b,c,d) = (a+b+c)·bx + ca·d·x² + cx³\n\nconstra Tβ onde\nα = {(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,-1,0),(1,-1,0)} e\nβ = {f₁,x₁-x₂,x₃} são bases de R² e P₃, respectivamente\n\nT((1,0,0) = (1+0+0)·0x + c(1+1)x² - 0x³ = 1 + x²\n\n1·2x² = A(1) + B(1·x) + C(-1·x²) + D(x³)\n\n1·2x² = A(1) + 2C(-1·x²) + 0\nA = 3, B = 0, C = 1, D = 0 ⇒ D=0 → 2 = cos(1)\n\nT((1,1,0) = (-1+1+0)·1x + (4+0)x² + 0x³ = -x + 2.\n\n-x³ = A(1+B(4x) + C(-1·x²) + D(x³)\nD=0, c=-1\nA=-1, B=0, C=1, D=0, D=-1 → 3 = cos(1)\n\nT((0,0,-1) = (0+(-1) + 0) + 0·1 + 0·0 + 1·3 - y + 3 = -x + y^3\n-x + x³ = A(1 + B(1·x) + C(-1·x²) + D(x³)\nD = 1, C = 0\nB = -1 A=-1\n\n3 - 2 - 1 1\n0 1 0 -1\n2 1 0 0\n0 0 -1 1 Isomorfismo\nT(x,y,z) = (x + y - z, -x + z, 2x + 2y + 3z) é um isomorfismo?\n isomorfismo - bijetiva - injetora - Mer sobrejetora - Mn\n\ndim(cu) = dim(cu)\nNVC(T) = 0\nsolução 1:\n\tx·ty - z = 0\n\ty = -z = 0\n\tx = z = 0\n\tx² + 2y + 3z = 0\n\n4z + 2c·z + 3y + 2z = 0\n5z = 0\n\nz = 0\nTér ingetriv. = (0,0,0)\nbi_translate - isomorfismo\n\nTNI = dim-Rer(T) + dim-Im(T) = dim-R³\n dim Im(T) = dim R³\n dim Im(T) = 3 > T - e ≤ isobiettivo v (2015 2) Seja T: P2(R) → R3 a transformação linear dada por\nT(a0 + a1x + a2x²) = (a0, a1, a2)\nE seja α = {(1,x,x²),x-x²} e β = {(1,0,1),(2,0,-1),(0,1,0)} bases para P2(R) e R3 respectivamente.\n(a) Prove que T é isomorfismo\n\na0 + a2 = 0\n a1 = a2 = a0 = 0\n 2a1 = 0\n a1 - a2 = 0\n\ne como as dimensões do domínio e contradomínio são iguais, afirmamos que T é isomorfismo\n\np1 achar o gradador da imagem\n\na0 + a2,2a1,a1-a2) = a0(1,0,0) + a1(0,1,1) + a2(1,0,-1)\n\n 1 0 0 1 0 0 1 0 0\n 0 2 1 → 0 2 1 → 0 2 0 0 1 1\n 1 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0\n\nComo os vetores geradores são T: a imagem de\nTipo se dimensão 3, então T é subjetiva.