Álgebra Linear

O sistema acima ainda pode ser escrito da forma u11 u12 u21 u22 α1 α2 0 0 Verifique quais dos seguintes os conjuntos de as matrizes colunas abaixo são linearmente independentes Use o método de GaussJordan para resolver os sistemas de equações a w1 1 2 1 1 1 1 w2 1 1 0 1 1 0 w3 1 1 7 1 1 1 w4 1 2 3 4 5 6 w5 1 1 1 1 1 1 w6 1 7 7 2 0 9 Sejam X a quantidade de certo produto em milhares de unidades e Y o respectivo custo total de produção em milhares de reais Abaixo é dada a seguinte amostra para 10 pares de valores X Y 3 7 11 11 10 15 5 14 7 18 13 21 7 23 8 30 9 32 10 34 Estime a reta de regressão Yi β0 β1xi ei Usando a O método de GaussJordan para resolver o sistema XXβ XY PS Apresente todas as derivadas como em calculado em sala de aula Lembre que β β0 β1 Dizemos que as matrizes colunas u1 ua são linearmente independentes LI se e somente se uma igualdade do tipo α1 u1 αa ua 0 1 com os coeficientes αi R só for possível para α1 αa 0 Além disso dizemos que as matrizes colunas acima são linearmente dependentes LD se a combinação linear em 1 ocorrer sem que todos os coeficientes αi R sejam todos iguais a zero Para exemplificar considere os vetores do R2 u1 e u2 para verificarmos se são LI ou LD precisamos resolver o sistema de equações α1 u1 α2 u2 0 ou seja α1 u11 u21 α2 u12 u22 0 0 0 X 3 11 10 5 7 13 7 8 9 10T Y 7 11 15 14 18 21 23 30 32 34T A matriz X no contexto da regressão linear é construída da seguinte forma X 1 3 1 11 1 10 1 5 1 7 1 13 1 7 1 8 1 9 1 10 Onde a primeira coluna é um vetor de 1s para o intercepto β₀ e a segunda coluna são os valores de Xᵢ Agora vamos calcular XᵀX Xᵀ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 11 10 5 7 13 7 8 9 10 XᵀX 10 83 83 812 Agora vamos calcular XᵀY XᵀY 205 2024 Agora temos o sistema XᵀXβ XᵀY 10 83 83 812 β₀ β₁ 205 2024 Vamos resolver este sistema usando o método de GaussJordan Primeiro escrevemos a matriz aumentada 10 83 205 83 812 2024 Divida a primeira linha por 10 1 83 205 83 812 2024 Substitua a segunda linha por L₂ 83L₁ 1 83 205 0 812 8383 2024 83205 1 83 205 0 812 6889 2024 17015 1 83 205 0 1231 3225 Divida a segunda linha por 1231 1 83 205 0 1 262 Substitua a primeira linha por L₁ 83L₂ 1 0 205 83262 0 1 262 1 0 205 21746 0 1 262 1 0 1246 0 1 262 Portanto β₀ 1246 e β₁ 262 A reta de regressão estimada é Y 1246 262X 2 W1 1 2 1 1 W2 1 0 0 1 W3 1 0 7 1 Conjunto a Precisamos resolver a equação a1W1 a2W2 a3W3 0 onde a1 a2 a3 são escalares Isso nos leva ao seguinte sistema de equações a1 a2 a3 0 2a1 a2 0 a1 7a3 0 a1 a2 a3 0 Vamos montar a matriz aumentada e aplicar o método de GaussJordan 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 7 0 1 1 1 0 Aplicando as operações de linha 1 R2 R2 2R1 2 R3 R3 R1 3 R4 R4 R1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 6 0 0 0 0 0 1 R3 R3 R2 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 8 0 0 0 0 0 Da terceira linha temos 8a3 0 então a3 0 Da segunda linha temos a2 2a3 0 então a2 0 e a2 0 Da primeira linha temos a1 a2 a3 0 então a1 0 Como a única solução é a1 a2 a3 0 os vetores W1 W2 W3 são linearmente independentes LI W4 1 2 3 4 5 6 W5 1 1 1 1 1 1 Conjunto b Precisamos resolver a equação b1W4 b2W5 0 onde b1 b2 são escalares Isso nos leva ao seguinte sistema de equações b1 b2 0 2b1 b2 0 3b1 b2 0 4b1 b2 0 5b1 b2 0 6b1 b2 0 Vamos montar a matriz aumentada e aplicar o método de GaussJordan 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 Aplicando as operações de linha 1 R2 R2 2R1 2 R3 R3 3R1 3 R4 R4 4R1 4 R5 R5 5R1 5 R6 R6 6R1 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 Da segunda linha temos b2 0 então b2 0 Da primeira linha temos b1 b2 0 então b1 0 Como a única solução é b1 b2 0 os vetores W4 W5 são linearmente independentes LI W6 1 7 2 0 9 Conjunto c Como temos apenas um vetor ele é linearmente independente se não for o vetor nulo Neste caso W6 não é o vetor nulo então é linearmente independente LI O conjunto a é linearmente independente LI O conjunto b é linearmente independente LI O conjunto c é linearmente independente LI