Espaços Vetoriais de Matrizes 2x2 - Definição e Operações

No próximo exemplo nossos vetores são matrizes Inicialmente isso pode parecer um pouco confuso porque matrizes são compostas por linhas e colunas que por sua vez são vetores vetores linha e coluna Contudo aqui não nos interessamos por linhas ou colunas individuais mas sim pela relação entre as propriedades das operações matriciais e as matrizes como um todo Note que a Equação 1 envolve três tipos diferentes de operações a operação de adição de vetores a operação de adição de matrizes e a operação de adição de números reais EXEMPLO 4 O espaço vetorial das matrizes 2 x 2 Seja V o conjunto de todas as matrizes 2 2 com entradas reais e tomemos as operações de espaço vetorial em V como sendo as operações usuais de adição matricial e a multiplicação matricial por escalar ou seja u v u11 u12 u21 u22 v11 v12 v21 v22 u11 v11 u12 v12 u21 v21 u22 v22 1 a u a u11 u12 u21 u22 a u11 a u12 a u21 a u22 O conjunto V é fechado na adição e na multiplicação por escalar porque as operações matriciais usadas nessa definição produzem matrizes 2 2 como resultado final Assim resta confirmar que valem os Axiomas 2 3 4 5 7 8 9 e 10 Algumas destas são propriedades conhecidas de matrizes Por exemplo o Axioma 2 segue do Teorema 141a pois u v u11 u12 u21 u22 v11 v12 v21 v22 v11 v12 v21 v22 u11 u12 u21 u22 v u Analogamente os Axiomas 3 7 8 e 9 seguem das partes b h i e e respectivamente daquele teorema verifique Para conferir restam os Axiomas 4 5 e 10 Para confirmar que o Axioma 4 está satisfeito devemos encontrar uma matriz 0 de tamanho 2 2 com a qual 0 u u 0 u com cada matriz 2 2 em V Podemos fazer isso tomando 0 0 0 0 0 Com essa definição 0 u 0 0 0 0 u11 u12 u21 u22 u11 u12 u21 u22 u e analogamente u 0 u Para verificar que o Axioma 5 vale devemos mostrar que cada objeto u em V tem um negativo u em V tal que u u 0 u u 0 Isso pode ser feito definindo o negativo de u como u u11 u12 u21 u22 Com essa definição u u u11 u12 u21 u22 u11 u12 u21 u22 0 0 0 0 0 e analogamente u u 0 Finalmente o Axioma 10 é válido porque 1 u 1 u11 u12 u21 u22 1 u11 1 u12 1 u21 1 u22 u EXEMPLO 5 O espaço vetorial das matrizes m n O Exemplo 4 é um caso especial de uma classe mais geral de espaços vetoriais O leitor não deveria encontrar dificuldades em adaptar as argumentações daquele exemplo para mostrar que o conjunto V de todas as matrizes m n é um espaço vetorial com as operações usuais de adição matricial e multiplicação matricial por escalar Denotamos esse espaço vetorial pelo símbolo Mmn Assim por exemplo o espaço vetorial no Exemplo 4 é denotado por M22