Álgebra Linear

ATENÇÃO Afirmaçõesrespostas sem justificativas serão desconsideradas Qualquer tentativa de consulta não autorizada durante a avaliação implicará em anulação da atividade Q125 ptos Seja V R³ Verifique se W x y z Vx y z 0 é um subespaço de V Em caso afirmativo dê a dimensão de W e um conjunto de geradores Q225 ptos Considere a seguinte matriz de mudança da base β para a base γ P 2 1 0 1 0 1 0 1 1 Encontre a wβ sabendo que wγ 3 2 1 b wγ sabendo que wβ 0 1 1 Q325 ptos Seja T R² R³ uma transformação linear definida por T21 303 e T30 330 a Determine Txy b Determine v R² tal que Tv 5 4 9 Q425 ptos Dadas as matrizes A 1 0 0 1 3 0 3 2 2 e B 1 1 4 1 Determine a Os autovalores associados a cada matriz b Os autoespaços Autλ associados ao autovalores do item a Como x y xy x1 0 1 y0 1 1 Um conjunto de geradores de W é 1 0 1 01 1 e como card1 0 1 0 1 1 2 temos que dim W 2 2 Pβγ 2 1 0 1 0 1 0 1 1 a wγ 3 2 1 Pβγ wβ wγ então Pβγ1 wγ wβ vamos calcular a matriz inversa P I 2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 L1 12 L1 12 12 0 12 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 L2 L2 L1 12 12 0 12 0 0 0 12 1 12 1 0 0 1 1 0 0 1 L2 2 L2 12 12 0 12 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 1 0 0 1 L1 L1 12 L2 L3 L3 L2 1 0 1 0 1 0 0 1 2 1 2 0 0 0 3 1 2 1 L3 13 L3 Resolução 1 W xyz V x y z 0 V IR³ Vetor nulo pertence a W Tomando x y z 0 então 000 0 e a condição x y z 0 é satisfeita Fechamento sob adição vu W v u W v x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ v u x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ Para v w W deve satisfazer x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ 0 mas temos x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ Como v e u cumprem a condição concluímos que é verdadeiro Fechamento para multiplicação α IR e v W αv W v x₁ y₁ z₁ então αv αx₁ αy₁ αz₁ e αv deve satisfazer αx₁ αy₁ αz₁ 0 porém αx₁ αy₁ αz₁ αx₁ y₁ z₁ α 0 0 Logo W é um subespaço Dimensão W Com as restrições dos vetores em W podemos calcular os vetores linearmente independentes que geram W e concluir sua dimensão x y z 0 z x y Logo um vetor xyz em W pode ser escrito como xy x y 1 0 1 6 1 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 13 23 13 L1L2 L3 L2L2 2L3 Para lambda2 2 A 2Iv2 1 0 0 1 5 0 3 2 0 x 0 x0 y 0 x 5y 0 z 0 3x 2y 0 Isto implica que x0 e y0 temos z livre logo v2 00z z001 E2 span001 Para lambda3 3 temos A 3Iv3 4 0 0 1 0 0 3 2 5 x 0 4x 0 1 0 0 y 0 x 0 3 2 5 z 0 3x 2y 5z 0 x0 e na 3 equação temos 2y 5z 0 y 5z2 logo v3 0 y z 0 52 z z z0 52 1 e temos E3 span0 52 1 b Para λ1 1 temos B Iv1 2 1 4 2x y 0 0 2x y 0 4x 2y 0 y 2x Logo v1 x y x 2x x 1 2 e então E1 span 1 2 Para λ2 3 temos B 3Iv2 2 1 4 2x y 0 0 2x y 0 4x 2y 0 y 2x Logo v x y x 2x x 1 2 e então temos E3 span 1 2