Exercícios Resolvidos sobre Álgebra Linear Espaços Vetoriais e Transformações

Na modelagem de muitos sistemas físicos encontramos sistemas lineares tendo a quantidade de incógnitas similar à quantidade de equações Nessa situação sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares Assim nessa circunstância considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3 tal que detAdetB1 Assinale a alternativa que apresenta o valor de det3Adet2B O S xy R² x 0 y 0 O S x R x x O S x y 0 R³ O S xy R² y 4 2x O S xy0 Q³ Para um par de vetores ser Linearmente Independente LI é necessário que um vetor não seja combinação linear do outro ou seja não pode existir um número real α que multiplicado por um vetor determine o outro vetor Usando a definição descrita determine no R² o único par de vetor LI Seja T R³ R² uma transformação linear e B v₁ v₂ v₃ uma base do R³ sendo v₁ 0 1 0 v₂ 1 0 1 e v₃ 1 1 0 Determine T5 3 2 sabendo que Tv₁ 1 2 Tv₂ 3 1 e Tv₃ 0 2 O 1 2 2 4 O 4 6 2 3 O 2 3 1 4 O 2 3 4 6 O 2 3 6 9 O T5 3 2 10 20 O T5 3 2 20 10 O T5 3 2 20 10 O T5 3 2 10 20 O T5 3 2 30 20 Dizemos que um conjunto é Linearmente Independente LI se nenhum dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos demais vetores Determine o valor de k para que o conjunto 101 110 k11 seja Linearmente Independente LI k 2 k 1 k 5 k 4 k 3 Considere no R3 os vetores v1 132 v2 241 Sabendo que uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos multiplicando cada termo por uma constante determine o valor de k para que o vetor u 1k7 seja combinação linear de v1 e v2 O k 14 O k 13 O k 11 O k 12 O k 10 Atividade 4 A dimensão de um espaço vetorial é a cardinalidade ou seja o número de vetores Linearmente Independentes que geram esse espaço Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial V xyz 3 2x y z 0 O dim V 2 Base 102204 O dim V 3 Base 102011113 O dim V 2 Base 012101 O dim V 3 Base 012101113 O dim V 2 Base 102011 Para formar uma base no ℝ² precisamos de dois vetores que sejam Linearmente Independentes LI Uma representação geral de uma base está descrita a seguir Um conjunto B v₁ v₂ vₙ V é uma base do espaço vetorial V se I B é LI II B gera V Determine a única alternativa que apresenta uma base no ℝ² B 12 24 B 62 31 B 12 510 B 11 10 B 23 46 Subespaço vetorial é um espaço vetorial dentro de um espaço vetorial ou seja um subconjunto de um espaço vetorial Para ser subespaço vetorial S valem algumas regras Dados os vetores uv S e α ℝ temos I 0 S II u v S III αu S Verifique se o conjunto S é um subespaço vetorial em ℝ² e assinale a alternativa correta S x y R² y 3x 3 S x y R² y 3x 2 S x y R² y 3x S x y R² y 3x 4 S x y R² y 3x 1 Uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos Multiplicando cada termo por uma constante usando esse conceito e dado o espaço vetorial P₂ dos polinômios de grau 2 escreva o vetor v 7x² 11x 26 como combinação linear de v₁ 5x² 3x 2 e v₂ 2x² 5x 8 v 3v₁ 4v₂ v 3v₁ 4v₂ v 2v₁ 4v₂ v 2v₁ 4v₂ v v₁ 4v₂ Considere no R3 os vetores v1 1 3 2 v2 2 4 1 Sabendo que uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos multiplicando cada termo por uma constante escreva o vetor v 4 18 7 como combinação linear dos vetores v1 e v2 v 2v1 3v2 v 2v1 3v2 v 2v1 3v2 v 3v1 3v2 v 3v1 3v2 Pergunta 1 Resolução É dado que detA detB 1 e as ordens das matrizes A e B são respectivamente nA 2 e nB 3 Aplicando a propriedade de determinantes detk A kn detA obtemos det3A det2B 3nA detA 2nB detB 32 detA 23 detB 98 detA detB 72 Logo a resposta final procurada é igual a 72 mas tal opção não consta entre as alternativas Opção 72 Pergunta 2 Solução Opção 3 23 14 Pergunta 3 Solução Opção 4 T532 1020 Pergunta 4 Solução Opção 1 k 2 Pergunta 5 Solução Opção 2 k 13 Pergunta 6 Solução Opção 5 dimV 2 Base 102 011 Pergunta 7 Solução Opção 4 B 1110 Pergunta 8 Solução Opção 3 S xy R2y 3x Pergunta 9 Solução Opção 1 3v1 4v2 Pergunta 10 Solução Opção 2 2v1 3v2 2