Questões Álgebra Linear

2 Sejam A B R3 P3 transformações lineares Suponha que A1 2 1 B1 2 1 A1 1 2 B1 1 2 e A2 1 1 B2 1 1 Mostre que Ax y z Bx y z para todo x y z R3 3 Seja D P10 P10 um operador linear definido por Dpx 6px px 3px Mostre que ND 0 e conclua que bx P10 existe px P10 tal que Dpx bx 4 Use os teoremas a respeito de Transformações Lineares para mostrar que uma matriz m n possui inversa à direita se e somente se seus vetores coluna geram Rm 5 Considere a projeção ortogonal P R2 R2 sobre a reta y 5x Determine uma base de R2 de forma que a matriz de P nesta base seja 1 0 0 0 2 Primeiro observe que os vetores v1 1 2 1 v2 1 1 2 e v3 2 1 1 formam uma base para o R3 De fato como dimR3 3 basta mostrar que os vetores v1 v2 e v3 são LI Sejam a b c R considere a equação a1 2 1 b 1 1 2 c2 1 1 0 0 0 ou seja a b 2c 0 2a b c 0 a 2b c 0 Resolvendo o sistema por escalonamento 1 1 2 0 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2 0 0 1 3 0 0 1 1 0 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 4 0 Logo a b 2c 0 b 3c 0 4c 0 onde obtemos a b c 0 Portanto B v1 1 2 1 v2 1 1 2 v3 2 1 1 é uma base do R3 Agora seja v x y z R3 um vetor qualquer expressemos v como combinação linear de v1 v2 e v3 Dados a b c R temos x y z a1 2 1 b1 1 2 c2 1 1 Aplicamos as transformações A e B em Ax y z a A1 2 1 b A1 1 2 c A2 1 1 Bx y z a B1 2 1 b B1 1 2 c B2 1 1 Como A1 2 1 B1 2 1 A1 1 2 B1 1 2 e A2 1 1 A2 1 1 obtemos Ax y z a B1 2 1 b B1 1 2 c B2 1 1 Bx y z Portanto Ax y z Bx y z para todo x y z R3 Se px P₁₀ então pxa₀ a₁x a₂x² a₃x³ a₄x⁴ a₅x⁵ a₆x⁶ a₇x⁷ a₈x⁸ a₉x⁹ a₁₀x¹⁰ pxa₁ 2a₂x 3a₃x² 4a₄x³ 5a₅x⁴ 6a₆x⁵ 7a₇x⁶ 8a₈x⁷ 9a₉x⁸ 10a₁₀x⁹ px2a₂ 6a₃x 12a₄x² 20a₅x³ 30a₆x⁴ 42a₇x⁵ 56a₈x⁶ 72a₉x⁷ 90a₁₀x⁸ Suponha que Dpx0 ou seja 6px px 3px 0 6a₀ 6a₁x 6a₂x² 6a₃x³ 6a₄x⁴ 6a₅x⁵ 6a₆x⁶ 6a₇x⁷ 6a₈x⁸ 6a₉x⁹ 6a₁₀x¹⁰ a₁ 2a₂x 3a₃x² 4a₄x³ 5a₅x⁴ 6a₆x⁵ 7a₇x⁶ 8a₈x⁷ 9a₉x⁸ 10a₁₀x⁹ 6a₂ 18a₃x 36a₄x² 60a₅x³ 90a₆x⁴ 126a₇x⁵ 168a₈x⁶ 216a₉x⁷ 270a₁₀x⁸ 0 Logo 6a₀ a₁ 6a₂ 0 1 6a₁ 2a₂ 18a₃ 0 2 6a₂ 3a₃ 36a₄ 0 3 6a₃ 4a₄ 60a₅ 0 4 6a₄ 5a₅ 90a₆ 0 5 6a₅ 6a₆ 126a₇ 0 6 6a₆ 7a₇ 168a₈ 0 7 6a₇ 8a₈ 216a₉ 0 8 6a₈ 9a₉ 270a₁₀ 0 9 6a₉ 10a₁₀ 0 10 6a₁₀ 0 11 De 11 a₁₀ 0 De 10 a₉ a₁₀ 0 De 9 a₈ a₉ a₁₀ 0 De 8 a₇ 0 De 7 a₆ 0 De 6 a₅ 0 De 5 a₄ 0 De 4 a₃ 0 De 3 a₂ 0 De 2 a₁ 0 De 1 a₀ 0 Portanto aᵢ 0 para todo i 0 1 2 10 Logo ND 0 Como ND 0 então o operador linear D é injetor Além disso dimP₁₀ 10 e pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos dim ImD dimP₁₀ dim ND 11 0 11 Logo ImD P₁₀ ou seja o operador D é sobrejetor Portanto bx P₁₀ existe px P₁₀ tal que Dpx bx 4 Seja A uma matriz m x n tal que A seja a matriz da transformação linear A Rⁿ Rᵐ Suponha que A admita uma inversa à direita Logo A é sobrejetiva ou seja postoA m dim Rᵐ Daí temos que as colunas de A geram Rᵐ Seja A uma matriz m x n tal que A seja a matriz da transformação linear A Rⁿ Rᵐ Suponha que as colunas de A geram Rᵐ Logo o postoA m dim Rᵐ Logo A é sobrejetiva e portanto A admite uma inversa à direita 5 A projeção ortogonal sobre a reta y 5x significa que o vetor x y é projetado na direção da reta A reta y 5x pode ser parametrizada por t t 5t O vetor v₁ 1 5 é paralelo a esta reta Dado x y R² temos 1 5x y 0 0 ou seja x 5y 0 Logo x 5y y R Assim o vetor v₂ 5 1 é ortogonal a v₁ 1 5 Portanto a base desejada é B v₁ 1 5 v₂ 5 1