Analise Estatistica e Probabilidade - Questoes Resolvidas para Concursos

Andrey Sarmento wwwmeugurunet Questão 1 I Verdadeiro Justificativa Supomos que temos os seguintes dados 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 O coeficiente de variação desses dados 𝐶𝑉1 é calculado por 𝐶𝑉1 𝑠1 𝑥1 onde 𝑥1 1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 e 𝑠1 2 1 𝑛 1 𝑥𝑖 𝑥12 𝑛 𝑖1 Agora dividindo os valores anteriores por 4 teremos os dados 𝑥1 4 𝑥2 4 𝑥𝑛 4 Calculamos a média e desvio padrão para esses novos dados 𝑥𝑡 e 𝑠𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥𝑡 1 𝑛 𝑥𝑖 4 𝑛 𝑖1 1 4𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑥1 4 𝑠𝑡 2 1 𝑛 1 𝑥𝑖 4 𝑥𝑡 2 𝑛 𝑖1 1 𝑛 1 𝑥𝑖 4 𝑥1 4 2 𝑛 𝑖1 1 𝑛 1 1 42 𝑥𝑖 𝑥12 𝑛 𝑖1 𝑠𝑡 2 1 42𝑛 1 𝑥𝑖 𝑥12 𝑛 𝑖1 𝑠1 2 42 𝑠𝑡 𝑠1 2 42 𝑠1 4 Portanto o coeficiente de variação para 𝑥1 4 𝑥2 4 𝑥𝑛 4 é calculado de tal forma 𝐶𝑉2 𝑠𝑡 𝑥𝑡 𝑠1 4 𝑥1 4 𝑠1 𝑥1 𝑪𝑽𝟐 𝑪𝑽𝟏 II Verdadeiro Justificativa Andrey Sarmento wwwmeugurunet Como 𝑋 é simétrica em torno da média 2 então se espera 𝑚𝑒𝑑𝑋 2 Onde 𝑚𝑒𝑑𝑋 significa mediana da variável 𝑋 Ora se 𝑋 é simétrica 𝑌 2𝑋 1 também será assim 𝑚𝑒𝑑𝑌 2 2 1 𝟓 𝟒 III Falso Justificativa 𝑋 é assimétrica positiva com média 5 e variância 2 portanto pela assimetria positiva teremos 𝑚𝑜𝑋 𝑥 𝑚𝑜𝑋 5 A moda 𝑚𝑜𝑉 para 𝑉 𝑋 6 será dada por 𝑚𝑜𝑉 𝑚𝑜𝑋 6 Agora 𝑚𝑜𝑋 5 𝑚𝑜𝑋 6 5 6 𝒎𝒐𝑽 𝟏 IV Falso Justificativa Uma característica do coeficiente de variação é que ele é adimensional portanto independente da escala dos dados o valor final será o mesmo V Falso Justificativa Dados 𝑃𝐴 06 𝑃𝐵 05 𝑃𝐴 𝐵 1 Definição de eventos mutuamente exclusivos dois eventos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos se e somente se 𝑃𝐴 𝐵 0 Sabese que 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 então 1 06 05 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝐵 06 05 1 𝑷𝑨 𝑩 𝟎 𝟏 𝟎 Andrey Sarmento wwwmeugurunet Número de assertivas corretas 𝟐 Alternativa correta c Questão 2 Inicialmente vamos completar a tabela de distribuição de frequência Na coluna 𝑥𝑖 ficará os pontos médios de cada classe que é dado por 𝑥𝑖 𝐿𝐼𝑖 𝐿𝑆𝑖 2 𝑖 1 2 5 Por exemplo na classe 1 temos o limite inferior da classe dado por 𝐿𝐼1 0 e limite superior da classe dado por 𝐿𝑆1 2 então o ponto médio da classe 1 será 𝑥1 0 2 2 2 2 1 Fazendo isso para todas as outras classes chegamos em Nota Alunos fi xi Fi fri Fri 0 2 1 1 2 4 3 3 4 6 8 5 6 8 6 7 8 10 2 9 Soma 20 25 O próximo passo é a frequência absoluta acumulada das classes 𝐹𝑖 É determinada pelo acúmulo sucessivo das frequências simples Isto é 𝐹1 𝑓1 𝐹2 𝑓1 𝑓2 𝐹3 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝐹𝑚 𝑓1 𝑓2 𝑓𝑚 𝑓𝑖 𝑚 𝑖1 Ou seja Andrey Sarmento wwwmeugurunet 𝐹1 1 𝐹2 1 3 4 𝐹5 1 3 8 6 2 20 Com isso obtémse Nota Alunos fi xi Fi fri Fri 0 2 1 1 1 2 4 3 3 4 4 6 8 5 12 6 8 6 7 18 8 10 2 9 20 Soma 20 25 Agora calculase as frequências relativas de classe Basta dividir a frequência simples pelo total de observações dado por 𝑓𝑖 5 𝑖1 𝑛 20 Por exemplo a frequência relativa da classe 1 será 𝑓𝑟1 1 20 005 A última coluna irá acumular os valores de 𝑓𝑟𝑖 parecido como foi feito na coluna de 𝐹𝑖 No final teremos Nota Alunos fi xi Fi fri Fri 0 2 1 1 1 005 005 2 4 3 3 4 015 020 4 6 8 5 12 040 060 6 8 6 7 18 030 090 8 10 2 9 20 010 100 Soma 20 25 100 𝑎 Quantos alunos tiram entre 5 e 7 O valor será dado por Corrigido 4 3 𝟕 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑒 7 𝑏 Quantos alunos tiram menos de 55 O valor 55 está contido na classe 3 4 6 portanto 𝐹3 1 3 4 2 𝟏𝟎 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 55 Andrey Sarmento wwwmeugurunet Questão 3 I Verdadeiro Justificativa Devese encontra o valor de 𝑎 que satisfaz a equação 𝑥𝑖 𝑎 0 𝑛 𝑖1 Temos 𝑥𝑖 𝑎 0 𝑛 𝑖1 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑎 𝑛 𝑖1 0 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑎 𝑛 𝑖1 Como 𝑎 é uma constante teremos 𝑎 𝑛 𝑖1 𝑛𝑎 Assim 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛𝑎 𝑎 1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝒂 𝒙 II Verdadeiro Justificativa Seja 𝑋 a variável aleatória que representa os salários dos empregados da empresa antes do reajuste Após o reajuste de 20 nos salários a variável sofrerá uma alteração representada por 𝑌 02𝑋 𝑋 12𝑋 salário dos empregados depois do reajuste Agora calculamos a variância e em seguida o desvio padrão da variável ajustada 𝑌 𝑉𝑎𝑟𝑌 122 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐷𝑃𝑌 122 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐷𝑃𝑌 12 𝑉𝑎𝑟𝑋 Andrey Sarmento wwwmeugurunet 𝑫𝑷𝒀 𝟏 𝟐 𝑫𝑷𝑿 Percebese que o desvio padrão fica aumentado em 20 junto com os salários novos III Falso Justificativa Suponhamos a variável 𝑋 e a variável 𝑌 2𝑋 Usando as propriedades de esperança e variância teremos 𝐸𝑌 𝐸2𝑋 2𝐸𝑋 e 𝑉𝑎𝑟𝑌 𝑉𝑎𝑟2𝑋 22 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝟒 𝑽𝒂𝒓𝑿 A média dos novos valores ficam multiplicados por 2 no entanto a variância será multiplicada por 4 e não por 2 IV Falso Justificativa O valor central de uma distribuição de valores em ordem crescente é denominado de mediana dos valores A mediana tem a característica de dividir o conjunto de dados em duas partes de mesma porcentagem 50 abaixo de seu valor e 50 acima de seu valor V Verdadeiro Justificativa Propriedade de variância de variável aleatória seja 𝑋 uma variável aleatória e 𝑎 e 𝑏 constantes reais então 𝑽𝒂𝒓𝒂𝑿 𝒃 𝒂𝟐 𝑽𝒂𝒓𝑿 Número de assertivas corretas 𝟑 Alternativa correta d Questão 4 Andrey Sarmento wwwmeugurunet Forma de Pagamento por Sexo Forma de Pagamento Sexo Total Masculino Feminino Dinheiro 100 200 300 Débito 100 100 200 Crédito 200 300 500 Total 400 600 1000 Definimos os seguintes eventos 𝑀 o cliente é do sexo masculino 𝐷 o cliente não pagou com dinheiro A probabilidade de um cliente ser do sexo masculino dado que ele não pagou em dinheiro é dada por 𝑷𝑴𝑫 𝑷𝑴 𝑫 𝑷𝑫 Temos que o número de clientes que não pagaram em dinheiro e são do sexo masculino é a soma dos clientes do sexo masculino que pagaram em débito ou crédito Na tabela verificamos que o número é determinado pela soma 100 200 assim 𝑃𝑀 𝐷 100 200 1000 300 1000 03 Agora o número total de clientes que não pagaram em dinheiro tanto do sexo masculino quanto do sexo feminino será 200 500 então 𝑃𝐷 200 500 1000 700 1000 07 Portanto obtemos a probabilidade desejada 𝑃𝑀𝐷 03 07 𝑷𝑴𝑫 𝟑 𝟕 Questão 5 Andrey Sarmento wwwmeugurunet A resposta correta é A as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira Correto um valor excepcionalmente alto ou baixo altera demais a média aritmética por isso não é usual em distribuições muito assimétricas Questão 6 Variáveis de Interesse 𝑋 altura dos pais em cm 𝑌 altura dos filhos em cm Dados 𝑛 100 𝑥 160 𝑦 180 𝑠𝑋 2 25 𝑠𝑌 2 16 𝑠𝑋𝑌 16 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 𝑟 𝑆𝑋𝑌 𝑆𝑋𝑆𝑌 𝑟 16 25 16 16 5 4 16 20 4 5 𝟎 𝟖 MODELO LINEAR DE REGRESSÃO 𝑌 𝑎 𝑏𝑋 𝑏 𝑆𝑋𝑌 𝑆𝑋 2 𝑏 16 25 064 𝑎 𝑌 𝑏𝑋 𝑎 180 064 160 𝑎 776 Portanto 𝒀 𝟕𝟕 𝟔 𝟎 𝟔𝟒𝑿 Questão 7 Altura média do pai 165cm ou seja 𝑋 165 Temos 𝑌 776 064 165 𝒀 𝟏𝟖𝟑 𝟐 cm Andrey Sarmento wwwmeugurunet Isto é Esperase que o indivíduo tenha 1832 cm de altura caso o seu pai tenha 165 cm