Exercicios Resolvidos - Estatistica Bayesiana e Estimacao de Maxima Verossimilhanca

Exemplo 2 Abaixo temos 10 valores provenientes de uma distribuição normal com média μ e variância σ² 1 12156 12000 21362 21139 26546 00135 00007 02131 33849 10 49196 a Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para σ² b Considere a média conhecida e igual a 2 e a variância desconhecida Considere a distribuição a priori Gamma com média 05 e variância 05 para a precisão τ 1σ² obtenha a distribuição a posteriori para τ c Segundo o item b qual é a média a posteriori para τ d Segundo o item b qual é a variância a posteriori para τ Solução Você vai precisar de Apêndice B do Mood distribuições a A estimativa de máxima verossimilhança para σ² é σ²22837 pois Y₁ Y₂ Yₙ variáveis aleatórias iid Nμ σ² então fYiy12πσ exp12σ² yi μ² e aplicando o produtório Lμ σ²y12πσⁿ exp12σ² Σⁿi1 yi μ² 03 Exercícios 1 Mostre que a família de distribuições Beta é conjugada em relação à binomial geométrica e binomial negativa 2 Para uma amostra aleatória X₁Xₙ tomada da distribuição U0 θ mostre que a família de distribuições de Pareto com parâmetros a e b cuja função de densidade é fθ abᵃθa1 é conjugada à uniforme 3 Suponha que o tempo em minutos para atendimento a clientes segue uma distribuição exponencial com parâmetro θ desconhecido Com base na experiência anterior assumese uma distribuição a priori Gamma com média 02 e desviopadrão 1 para θ Se o tempo médio para atender uma amostra aleatória de 20 clientes foi de 38 minutos determine a distribuição a posteriori de θ 4 Seja X₁Xₙ uma amostra aleatória da distribuição de Poisson com parâmetro θ Determine os parâmetros da priori conjugada de θ sabendo que Eθ4 e o coeficiente de variação a priori é igual a 05 5 O número médio de defeitos por 100 metros de uma fita magnética é desconhecido e denotado por θ Atribuise uma distribuição a priori Gamma 2 10 para θ Se um rolo de 1200 metros desta fita foi inspecionado e encontrouse 4 defeitos qual é a distribuição a posteriori de θ 02 Prioris Conjugadas continuação Exemplo 1 Box Tiao 1973 Os físicos A e B desejam determinar uma quantidade física μ O físico A tem mais experiência nesta área e especifica sua priori como μ N900 20² O físico B tem pouca experiência e especifica uma priori muito mais incerta em relação à posição de μ μ N800 80² Fazse então uma medição X de μ em laboratório com um aparelho calibrado com distribuição amostral Xμ Nμ 40² e observase X 850 Este exemplo corresponde ao Caso 1 de prioris conjugadas Explorando o exemplo e obtendo a posteriori para o físico A distribuição a priori μ N900 40² P860 μ 940 0 95 o intervalo que abrange 95 dos valores é mais estreito distribuição a posteriori μx N890 320 a variância do nosso parâmetro diminuiu significa que ganhamos informação com os dados observados para o físico B distribuição a priori μ N800 80² P640 μ 960 0 95 o intervalo que abrange 95 dos valores é mais largo distribuição a posteriori μx N840 1280 a variância de μ era igual a 6400 e passou a ser igual a 1280 agregamos informação da amostra A distribuição a posteriori representa um compromisso entre a distribuição a priori e a verossimilhança Além disso como as incertezas iniciais são bem diferentes o mesmo experimento fornece muito pouca informação adicional para o físico A enquanto que a incerteza do físico B foi bastante reduzida Cálculos para este exemplo