Atividade Avaliativa de Cálculo 3

1 Considere a esfera de raio a 0 dada por φu v a sen v cos u a sen v sen u a cos v onde u R e v 0 π Calcule as curvaturas Gaussiana e média da esfera 2 Considere o parabolóide hiperbólico dado pela parametrização φu v u v u² v² onde u v R² Calcule sua curvatura Gaussiana 3 Seja o parabóide elíptico dado pela parametrização φu v u v u² v² onde u v R² Calcule suas curvaturas Gaussiana e média 4 Seja T² um toro dado pela parametrização φu v a r cos v cos u a r cos v sin u r sin v onde u v R² 0 u 2π 0 v 2π Calcular a curvatura Gaussiana Ku v dos pontos do toro T² 5 Mostre que a ex² dx π Use integral dupla e mudança de variável coordenadas polares b ex²2 dx π c Fazendo a seguinte mudança de variável y 2x mostre que ex²2 dx 2π Snois An canu afiunas Gaunraana Jonna o lbtidas atbras don i Edu qundamentein 2Fdudu Gd Rernoleois 11 Ldu2mdudot Ndv Ralenlondo Xu asinu5inu Q5in tcosu loatcianten da N atows Vaton nonmal unitono Xv a co5v coSu acosu 5 Inu a5in Derisodos o L onma loazicianta tos1cantan da L tomamtes R H EN2FM GL paneias uu aSin o cosu sn v5inue o Kuv ocos sinu aco Suc0suio J tonna EG F2 osinG cosu aG1no51nuasin u co5 v lXu XellVosino cosu o sinr smu asnocos ir t ano osinu qundoman bal Xu X 51nCos 5inosinu cos o 2CEG F paneias L N Xuu a5 incosu ta5unrs1nu o5no qundemnted M N Xuo aSin ucoso nuastnocosUcos uO podsn N N Kuu asnr Cosu 05n2irsnr acos Sino tacosu0 Curvatura Gaussiana K LN M² EG F² a sin²va 0² a² sin²va² 0² a³ sin²v a⁴ sin²v 1 a² Curvatura Média M EN 2CM GL 2EG F² a² sin²va 200 a²a sin² v 2a² sin² va² 0² a³ sin² v a³ sin² v 2a⁴ sin² v M 2 a³ sin² v 2a⁴ sin² v 1 a Questão 2 Derivando a parametrização φu 1 0 2u φv 0 1 2v Coeficientes da 1º forma fundamental E φuφu 1 4u² F φuφv 4uv G φvφv 1 4v² vetor normal unitário φu φv 2u 2v 1 N 2u 2v 1 4u² 4v² 1 Coeficientes da 2º forma fundamental Derivadas de 2º ordem φuu 0 0 2 φuv 0 0 0 φvv 0 0 2 L φuuN 2 4u² 4v² 1 M 0 N φvvN 2 4u² 4v² 1 Curvatura Gaussiana K K LN M² EG F² Numerador LN 2 4u² 4v² 1 2 4u² 4v² 1 4 4u² 4v² 1 Denominador EG F² 1 4u²1 4v² 4uv² 1 4u² 4v² 16u²v² 16u²v² EG F² 1 4u² 4v² Logo Ku v 4 4u² 4v² 1 Quunas 3 panamtrigacas Pu1 o 2u 0 L2o J Fonma Fendeuna Jaton nonma unitonio f n d a m m i m t a l losqicinten Pnuatne Gauharama R LN M EG F Punvatune Mardia iE GFa M 2tt4u4oj2 4us 4o4u2 4u HÉN GL 2EM 4 littu2 4 4u4oL2 21t4u 462 H uso 4lou 4u401 4ut4un 1C1 t4u 4u aleulodo a du la rcos5n iCat rcosoeos ui0 Dundas oduton yton iain XuXu rco sulo ycosuco sui rco5 u a t r c o s u 5 i n u a rcouGnu Kukolrlerrcosb r5ih o cosu r 5 i n 0 s n u i YCosU deruodan Coficiantes Xuu at rcosucos Ca t rcoso Sinuo eoeieanten da paneows Aior cos u cosu rco SUSnur SnU Gunootwna KCaiw oe 2 onden da tonme fundamantal B Xuu Ku Xo rcosuCe t rcojU 2 coso Cotr co so r undamnhal atrco solr Gau iono cos U rco s 0 Catrcos o o rarcos oj 2 vatr coso Litne a leros 1cose ren Jdydedo dadyrdrdo Intaaramdo Logo e rdrde dedy