Integrais Duplas - Definição-Propriedades-e-Exercícios Resolvidos

Integrais Duplas J Definição Seja a função zfxy derivável e continua sobre o domínio D temos Dividindo o domínio D em n dominios parciais temse DΔA1 ΔA2 ΔA3 ΔAn a cada domínio parcial tomamos um ponto Pi P1 P2 P3 Pn O volume do cilindro em escada formado pelo domínio D e a função z é VR D fxy dA Sendo dAdxdy ou dydx 1 Se I D fxy dx dy se integra em relação a x depois em relação a y 2 Se I D fxy dy dx se integra em relação a y depois em relação a x Ex 1 I 03 02 x2 y2 dx dy I 03 x33 y2x20 dy 03 233 y22 03 y2 0 dy 03 83 2y2 dy 83 y 2y33 03 83 1 213 3 83 0 2033 83 23 10π3 I ₀²₀ˣ x y² dy dx I ₀² x y³3₀ˣ dy ₀² x x³3 dx ₀² x3 dx x²23 ₀² x²6 ₀² 2²6 0²6 46 23 I ₀¹ ᵧ³₀ x y dx dy I ₀¹ x²2 yxᵧ³₀ dy ₀¹ 3y²2 y3y y²2 yy dy ₀¹ 9y²2 3y² y²2 y² dy ₀¹ 8y²2 2y² dy ₀¹ 6 y² dy 6 y³3 ₀¹ 21³ 20³ 2 I ₀² ₀ˣ xy dy dx x 1 integrand I ₀² xy²2 ˣˣ¹ dx ₀² xx 1²2 xx²2 dx ₀² x² x² 2x 12 x³2 dx ₀² x²2 2x²2 x2 x³2 dx ₀² x² x2 dx from 0 to 2 of x2 x2 dx x33 x222 from 0 to 2 x33 x24 from 0 to 2 233 224 033 024 83 44 83 1 113 soma vezes Aplicação da integral dupla no cálculo de área plana Seja a função de um sólido abaixo z fxy O volume do sólido formulado pelo domínio D é V D f1xy dA ou V D z dA Fazendo fxy z 1 temos a área A D 1 dA 1 Calcule a área delimitada pelas funções y x e y x2 2x 2 Igualar e encontrar os pontos de intersecção y x e y x2 2x Para y x reta x x2 2x x2 2x x 0 Para y x2 2x x2 3x 0 função 2º grau Parábola concava p cima xx 3 0 x0 e x30 x3 x0 y0 x3 y3 ① Calcule a área delimitada pelas funções y x e y x2 2x Para y x reta X0 y0 X3 y3 Para y x2 2x X0 y0200 X3 y32 233 Função 2ª grau Parábola côncava p cima ① Calcule a área delimitada pelas funções y x e y x2 2x A 1 dA A ₀³ ₓʸ 1 dydx x2 2x A ₀³ yₓ²2ˣ dx ₀³ x x2 2x dx Por último ₀³ x x2 2x dx ₀³ x x2 2x dx ₀³ x2 3x dx x33 3x22 ₀³ 333 3322 033 3022 273 272 9 272 92 soma multiplicação