Lista de Exercícios Resolvidos Cálculo 3 TVC3 - Integrais Múltiplas e Transformações

Lista de Exercícios de Revisão para o TVC3 Cálculo 3 Questão 3 x xu v λu bv y yu v c u d v Caso tenhamos a seguinte seguinte integral R f xy d x d y e g u v x u v y u v temos que R f gu v Jac gu v d u d v Logo Jac gu v xu xv yu yv λ b c d daí Jac gu v λd bc Questão 4 I Q 2x y2 2x y dx dy e Q é o paralelogramo de vértices 10 22 14 e 02 sendo μ 2x y e v 2x y temos que 2 μ 2 2 v 6 e 2x y μ 2x y v 4x μ v x μ4 v4 e 2 μ4 v4 y v y v μ2 v2 y μ2 v2 Logo gμ v xu v yμ v μv4 μ v2 Então Jac g xu xv yu yv 14 14 12 12 14 12 14 12 Jac g 18 18 14 I g1Q μ2 v 14 dudv 14 26 22 μ2 v dudv 14 26 13 v μ322 dv 14 26 13v 8 8 dv 43 26 dvv 43 ln v26 43 ln 6 ln 2 43 ln 3 Questão 5 I 11 11 x y dx dy Analisando temos que x y x y se x y x y y x se x y Logo temos duas regiões de integração y x y x R1 R2 y x Logo I 11 x1 y x dy dx 11 1x x y dy dx 11 y22 xy x1 dx 11 xy y22 1x dx 11 12 x x2 2 x2 x2 x2 2 x 12 dx 11 1 x2 dx x x33 11 1 13 1 13 43 43 83 Questão 6 A Mostre que R fy2x dxdy 22 fu du onde R é o losango de vértices 10 10 20 20 Considere u R R dada por uxy y 2x então fy2x fuxy e ponha vxy y 2x Logo R uv R² 2 u 2 e 2 v 2 adem disso y 2x u y 2x v y uv2 uv2 2x v 2x v u2 v2 x v4 u4 Então xuv vu4 e yuv vu2 J 14 14 12 12 18 18 14 R fy2x dx dy 22 22 fu 14 dv du 22 fu 1422 du 22 fu du Questão 6 B R fxy dxdy 11 fu du R xy R² x y 1 u x y e v y x Logo R uv R² 1 u 1 e 1 v 1 e y x u y x v 2y u v y uv2 uv2 x u x u u2 v2 uv2 então x uv2 y uv2 J 12 12 12 12 14 14 12 Portanto R fxy dxdy 11 11 fu 12 dv du 11 fu 1 1 du 11 fu du Questão 6 C R fxy ln2 12 fu du R xy R² 1 xy 2 0 x 2y 0 y 2x u xy v y R uv R² 1 u 2 e u2 v 2u e v uv v u2 y v logo x uv então J 1v uv² 0 1 1v R fxy dxdy 12 u22u fu 1v dv du 12 fu ln2u lnu2 du 12 fu ln2 du ln2 12 fu du Questão 7 ₀ˣ ₀ˣ ₀ᵘ ft dt du dv 12 ₀ˣ xt² ft dt Logo a integral é ₀ˣ ₜˣ ₀ᵘ ft dv du dt ₀ˣ ₜˣ ft μ du dt ₀ˣ ft2 xt² dt 12 ₀ˣ ft xt² dt Questão 8 A I ₀¹ ʸ¹ ₀¹ʸ 1z⁵ dz dx dy B xyz ℝ³ y x y 0 y 1 e 0 z 1y Podemos reescrever B de outra forma B xyz ℝ³ y x y 0 z 1 e 0 y 1z Logo podemos considerar I ₀¹ ₀¹z ʸʸ 1z⁵ dx dy dz B I ₀¹ ₀¹z 1z⁵ x yʸʸ dy dz ₀¹ ₀¹z 1z⁵ 2 y dy dz ₀¹ 1z⁵ y² ₀¹z dz ₀¹ 1z⁵ 1z² 0² dz ₀¹ 1z⁷ dz ₁⁰ μ⁷ dμ 18 μ⁸₁⁰ 18 u 1z du dz dz du z₀ 0 u₀ 1 z₁ 1 u₁ 0 Questão 9 Calcule o volume da superfície p 2a senψ e descreva essa superfície Vamos calcular o volume de Puψ sobre o domínio 01 x 0π pois no intervalo de 0 a π a função seno é positiva Basta considerar a integral ₀¹ ₀π ₀²a senψ 1 dp dψ du ₀¹ ₀π 2a senψ dψ du ₀¹ 2a cosψ₀π du ₀¹ 2a cosπ cos0 du ₀¹ 2a 1 1 du 4 ₀¹ a du 4 a u²2 ₀¹ 2a