Convergência de Séries Numéricas- Critério do Limite e Aplicações

Para determinar a convergência ou divergência de uma série existem diversos critérios que podem ser aplicados a diferentes tipos de séries A seguir apresentaremos o critério do limite que é utilizado normalmente comparando a série que desejamos estudar a convergência n1 an com uma que previamente já sabemos se é convergente ou divergente n1 cn Critério do Limite Sejam n1 an e n1 cn duas séries com an 0 e cn 0 n q onde q é um número natural fixo Suponha que limn ancn L Então i Se L 0 L ℝ ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes ii Se L e n1 cn for divergente então n1 an também será divergente iii Se L 0 e n1 cn for convergente então n1 an também será convergente Nessa ATIVIDADE DE ESTUDO você deverá estudar a convergência da série n1 1n 1ln n 2 respondendo aos seguintes itens a Utilizando algum dos testes de convergência estudados na disciplina responda se a série n1 1n 1ln n2 é convergente ou divergente b Utilizando o critério do limite escolhendo corretamente a série n1 cn responda se a série n1 1n 1ln n2 é absolutamente convergente ou não c Dizemos que uma série é dita condicionalmente convergente quando ela é convergente mas não é absolutamente convergente Sabendo disso responda se a série n1 1n 1ln n2 é condicionalmente convergente ou não Questão 1 A ideia aqui utilizada é usarmos da definição de limites para construirmos desigualdades que permitam a utilização do teste da comparação Nesse sentido vamos mostrar um resultado que nos guiará de forma imediata as demonstrações dos itens i ii e iii De início vamos estabelecer um resultado útil para os itens i e ii por fins de organização vamos enunciálo como um lema Lema 1 Seja an e cn duas sequências de números reais e seja L um número finito não negativo tal que Então temos que vale que Prova do Lema 1 Com efeito veja que por definição do limite dado no exercício sabemos que dado 0 ϵ existe n0 N tal que se nn0 então temos que que prova o desejado Agora de posse dessa desigualdade vamos atacar cada item i O caso em que L 0 Temos pela desigualdade do Lema anterior com ε c2 as seguintes desigualdades onde simplesmente substituímos o valor de epsilon na desigualdade do Lema 1 e somamos sobre todos os índices n a fim de termos o somatório como segue acima Ademais vale o destaque que omitimos os contadores de n que partem de 1 até infinito apenas para termos uma notação mais limpa Então veja que se assumimos que cn é convergente então segue da primeira desigualdade acima que an é convergente em virtude do teste da comparação ademais se cn for divergente veja que da segunda desigualdade depreendemos também pelo teste da comparação que a série an também é divergente Por outro lado se assumimos que an é convergente então segue da segunda desigualdade acima que c é convergente em virtude do teste da comparação ademais se an for divergente veja que da primeira desigualdade depreendemos também pelo teste da comparação que a série cn também é divergente Ou seja ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem ii Caso com L infinito Com efeito nesse caso temos do Limite dado no enunciado que dado M 0 existe n0 N tal que se nn0 tenhamos logo veja que se cn for divergente o teste da comparação nos fornece que a série an também é divergente iii Caso L 0 Em virtude da arbitrariedade de epsilon no Lema 1 façamos epsilon igual a 1 e L0 de modo que nosso resultado se torna o que nos fornece de imediato que se a série cn for convergente então a série an também será convergente Assim os resultados ficam demonstrados Questão 2 a Definamos a sequência de termo geral bn 1 lnn2 Então veja que como a função logarítmica é estritamente positiva e crescente então segue que a sequência bn é uma sequência estritamente decrescente De fato Além disso veja que Logo a sequência bn cumpre as hipóteses do Teste da série alterna de Leibniz e consequentemente segue que a série 1 nbn é convergente pelo critério da série alternada de Leibniz b Primeiro veja que o módulo da série desejada é tal que Com efeito veja que se assegurarmos que a série n1 1 ln n2 é convergente então segue que a série n1 1 n 1 lnn2 também o será ademais essa por sua vez será uma série absolutamente convergente pela desigualdade acima Nesse sentido vamos começar a verificar a convergência da série n1 1 ln n2 Para tanto definamos uma variável auxiliar dn 1 lnn2 por simplicidade e agora escolhemos a seguinte série auxiliar n1 1 ln n onde cn 1 ln n De posse disso veja que podemos escrever que vale para todo número n real maior que 1 Perceba que somando sobre todos os índices n teremos a seguinte desigualdade Além disso veja que temos o seguinte limite então perceba que do critério da divergência segue que a série n1 n ln n é divergente e logo segue do teste da comparação que a série n1 1 ln n é divergente Então vamos calcular o limite da razão entre cnedn Com efeito nós teremos o seguinte e logo segue do teste da comparação do limite vide Questão 1 item i que em virtude da série n1 1 ln n ser divergente isso nos dá que a série n1 1 ln n2também é divergente por conseguinte isso implica que a série n1 1 n ln n2 não é absolutamente convergente c Em vista dos resultados dos itens a e b conseguimos assegurar que a série n1 1 n ln n2 não é absolutamente convergente