Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral 1

1 3 pontos Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções e encontre seus pontos de máximo ou mínimo locais caso existam a fx x2 x1 3x2 b fx e2x ex c gx x3 2x2 x 2 2 4 pontos Encontre intervalos de concavidade para cima ou para baixo das seguintes funções e apresente seus pontos de inflexão caso existam a fx ex22 c gx ex e2x b fx 2x3 x2 4x 1 d hx cubrtx2 x3 3 3 pontos Calcule os seguintes limites a lim x1 lnxx1 b lim x4 x2 2x 8x 4 c lim x0 ex ex 2ex x 1 QUESTÃO 1 b fx e2x ex fx ddxe2x ddxex 2e2x ex ex2ex 1 ex 0 para todo x R fx 0 2ex 1 0 ex 12 x ln12 x ln2 ln2 fx Pelo deste da derivada a função é crescente para x ln2 e decrescente para x ln2 fx ddx 2e2x ex 4e2x ex ex4ex 1 fln2 12 412 1 12 0 Pelo deste da segunda derivada x ln2 é um ponto de mínimo local QUESTÃO 02 a fx ex22 fx ddxex22 ex22 ddxx22 x ex22 fx ex22 ddxx x ex22 ddx x22 fx ex22 x2 ex22 ex22 x2 1 ex22 0 para todo x R x2 1 x2 12 x 1x 1 fx Pelo teste da segunda derivada fx 0 para x no intervalo 1 1 fx tem concavidade para cima neste intervalo e fx 0 para x 1 1 fx tem concavidade para baixo neste intervalo Pontos de inflexão fx 0 ex22 x2 1 x2 1 0 x 1 ou x 1 Os pontos de inflexão são x 1 e x 1 gx ex e2x gx ddx ex ddx e2x ex e2x ddx 2x 2e2x ex ex 2 ex 1 gx ddx ex 2 ex 1 ex ddx 2 ex 1 gx ex 2 ex 1 ex 2 ex ex 1 2 ex 2 ex ex 1 4 ex ex 0 x R gx 0 1 4 ex 0 1 4 ex0 4 ex 1 ex 14 41 x ln 41 x ln 4 No intervalo ln 4 gx 0 a função gx tem concavidade para baixo No intervalo ln 4 gx 0 a função tem concavidade para cima Ponto de inflexão gx0 x ln 4 d hx ³x² x³ x² x³ ¹³ hx 13 x² x³ ¹³ ¹ ddx x² x³ hx 13 x² x³ 23 2x 3x² 2x 3x² ³x² x³² hx 13 2x 3x² 23 x² x³ 23 1 ddx x² x³ 13 x² x³ 23 ddx 2x 3x² hx 29 2x 3x² x² x³ 53 2x 3x² 13 x² x³ 23 2 6x 29 2x 3x²² x² x³53 2 6x ³x² x³² 2 2x 3x²² 9 ³x² x³³ x² x³² 2 6x ³x² x³² 1 ³x² x³² 2 2x 3x²² 3 x² x³ 2 6x Simplificando 2 4x² 12 x³ 9 x⁴ 3x² 3x³ 2 6x 8x² 24x³ 18x⁴ 6x² 6x³ 18x³ 18x⁴ 3x² 3x³ 2x² 3 x² x³ hx 2x² 9 x² x³ ³x² x³² Ponto de inflexão hx 0 2x²0 x0 Concavidade x² x³² 0 para todo x R 0 0 2x² 0 para todo x R 0 A função não tem ponto de inflexão pois x0 não pertence ao domínio de hx teste da segunda derivada é inconclusivo devido a indeterminação h0 0 Concavidade gx 2x² x² 1 x x 0 x 0 x 1 a funçao tem concavidade para baixo no intervalo 0 u 01 e concavidade para cima no intervalo 1