Bases e Coordenadas em Algebra Linear: Guia Completo com Exemplos

202 Álgebra Linear com Aplicações Pensando numa base como descrevendo um sistema de coordenadas para um espaço vetorial V então a parte a da definição garante que não há interrelações entre os vetores de base e a parte b garante que há vetores de base em número suficiente para fornecer coordenadas para todos os vetores em V Vejamos alguns exemplos EXEMPLO 1 A base canônica de Rⁿ Vimos no Exemplo 11 da Seção 42 que os vetores unitários canônicos e₁ 1 0 0 0 e₂ 0 1 0 0 eₙ 0 0 0 1 geram Rⁿ e pelo Exemplo 1 da Seção 43 sabemos que são linearmente independentes Assim esses vetores formam uma base de Rⁿ que denominamos base canônica de Rⁿ Em particular i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 é a base canônica de R³ EXEMPLO 2 A base canônica de Pₙ Mostre que S 1 x x² xⁿ é uma base do espaço vetorial Pₙ dos polinômios de grau no máximo n Solução Devemos mostrar que os polinômios em S são linearmente independentes e que geram Pₙ Denotemos esses polinômios por p₀ 1 p₁ x p₂ x² pₙ xⁿ Mostramos no Exemplo 13 da Seção 42 que esses vetores geram Pₙ e no Exemplo 4 da Seção 43 que são linearmente independentes Assim esses vetores formam uma base de Pₙ que denominamos base canônica de Pₙ EXEMPLO 3 Uma outra base de R³ Mostre que os vetores v₁ 1 2 1 v₂ 2 9 0 e v₃ 3 3 4 formam uma base de R³ Solução Devemos mostrar que esses vetores são linearmente independentes e que geram R³ Para mostrar a independência linear devemos mostrar que a equação vetorial c₁v₁ c₂v₂ c₃v₃ 0 1 só tem a solução trivial e para provar que esses vetores geram R³ devemos mostrar que cada vetor b b₁ b₂ b₃ de R³ pode ser expresso como c₁v₁ c₂v₂ c₃v₃ b 2 44 Coordenadas e bases 203 Igualando componentes correspondentes dos dois lados essas duas equações podem ser expressas como os sistemas lineares c₁ 2c₂ 3c₃ 0 c₁ 2c₂ 3c₃ b₁ 2c₁ 9c₂ 3c₃ 0 2c₁ 9c₂ 3c₃ b₂ c₁ 4c₃ 0 c₁ 4c₃ b₃ 3 verifique Assim reduzimos o problema a mostrar que o sistema homogêneo 3 só tem a solução trivial e que o sistema não homogêneo 5 é consistente com quaisquer valores de b₁ b₂ b₃ Mas os dois sistemas 3 e 5 têm a mesma matriz de coeficientes