Cálculo 1 - Atividade Avaliativa 3 - Derivação e Teorema do Valor Médio

Universidade Federal de Itajuba Campus Itabira Nome Matrícula Nome Matrícula Atividade Avaliativa 3 25 MATI2301 Cálculo 1 20231 Justifique e explique todas suas afirmações 1 5 pontos Usando a Regra da Cadeia e outras regras de derivação deriva as seguintes funções a e2t cos4t b y x2 1 x2 1 3 2 5 pontos Encontre o limite Use a Regra de lHôpital quando for apropriado Se houver um método mais elementar considere utilizálo Se a Regra de lHôpital não se aplicar explique o porquê a lim xπ2 cosx 1 senx b lim x x3 ex2 3 5 pontos a 1 ptos Esboce o gráfico de uma função f que seja contínua em 1 5 e tenha as seguintes propriedades Máximo absoluto em 3 mínimo absoluto em 2 mínimo local em 4 b 4 ptos Encontre os pontos críticos das funções i fx 5x2 4x ii fx x3 x2 x 4 6 pontos a 4 ptos Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado Então encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio ix3 x 1 em 0 2 ii e2x em 0 3 b 2 ptos Mostre que a equação 2x cosx 0 tem exatamente uma raiz real Meu Guru Cálculo I 1 a e2t cos 4t Pela Regra do Produto e da Cadeia ddt e2t cos 4t ddt e2t cos 4t e2t ddt cos 4t 2 e2t cos 4t e2t 4 sen 4t e2t 2 cos 4t 4 sen 4t b y x2 1 x2 1 3 Pela Regra do Cadeia y 3 x2 1 x2 1 2 ddx x2 1 x2 1 Pela Regra do Quociente dydx y 3 x2 1 x2 1 2 ddx x2 1 x2 1 x2 1 ddx x2 1 1 x2 12 dydx 3 x2 1 x2 1 2 x2 14 2x x2 1 x2 1 2x y 3 x2 1 x2 1 2 2x3 2x 2x3 2x x2 14 y 3 x2 1 x2 1 2 4x 12x x2 12 x2 14 As seguintes questões serão entregues no dia 27062022 na sala de aula 5 2 pontos Encontre dydx por derivação implícita a x3 y3 1 b x2 xy y2 4 6 3 pontos A figura mostra os gráficos de quatro funções Uma é a função da posição de um carro outra é a velocidade do carro outra é sua aceleração e outra é seu jerk Identifique cada curva e explique suas escolhas 3a b i fx 5x2 4x Nos pontos críticos máximos e mínimos va derivado de uma função é nula dfdx f 10x 4 0 10x 4 x 410 y f410 54102 4410 80100 1610 810 1610 810 A função fx5x2 4x possui então 410 810 como seu único ponto crítico ii fx x3 x2 x Do mesmo modo realizado cm i fx 3x2 2x 1 0 Δ 4 12 16 x 2 46 x1 26 13 x2 1 f1 13 12 1 1 1 1 1 f13 133 132 13 19 127 13 1 3 927 527 Logo fx x3 x2 x tem 1 1 como ponto de máximo e 13 527 como mínimo 4 a i x3 x 1 em 0 2 Para aplicarmos os Teorema do valor médio na uma função esta deve ser contínua e diferenciável no intervalo considerado Vamos testar essa continuidade Por ser um polinômio a função é continua para todo o conjunto dos reais também sendo para 0 2 Vou diferenciabilidade fx 3x2 1 f0 1 f2 13 Como vas derivadas existem fx é diferenciável satisfezendo las hipóteses do TVM Buscamos c tal que fc fb fa b a 3c2 6 1 4 c2 43 3c2 1 b3 b 1 a3 a 1 b a c 43 23 3c2 1 8 2 2 10 2 5 c 23 3 ii e2x em 03 A função fx e2x é continua em 03 lim e2x e0 1 f0 x0 lim e2x e6 f3 x3 lim e2x lim e2x lim e2x lim e2x x0 x0 x3 x3 Como também é diferenciável em 03 satisfaz as hipóteses do TVM fc 2 e2c fb fa e6 1 b a 3 2 e2c e6 1 3 e2c 1 e6 6 2c ln 1 e6 6 c ln 1 e6 12 b 2x cos x 0 cosx 2x Aplicando o Teorema do Valor Médio fx 2x cosx 𝜓0 2 cos0 2 1 3 𝜓π2 2π2 cosπ2 π 0 π Como fx é dada pela soma de um polinômio com a função cosseno é derivável e continua em 0 π2 Assim fc fb fa b a 2 senc π 1 π2 π 1π 2 senc π 1 2 π 2 2 2 π 2 2ππ 2π c arcsen 2π 5 Derivação Implícita a x3 y3 1 Derivando com relação a x 3x2 3y2 dydx 0 dydx 3x2 3y2 dydx x2 y2 b x2 xy y2 4 Derivando em x 2x xy x dydx 2y dydx 0 2x xy x 2y dydx 0 dydx 2x xy 2y x 6 A curva a é a do jerk já que tem um ponto cuja reta tangente é horizontal A curva b é a da aceleração pois tem um ponto de tangente horizontal coincidindo com o zero do curva a Quando b atinge o zero vc tem tangente nulo representando a velocidade Por eliminação d é a curva da posição