Cálculo de Limites e Derivadas - Problemas de Maximização e Minimização

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Problemas de maximização e minimização Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir máximos e mínimos absolutos Identificar quando um ponto é máximo ou mínimo de uma função Resolver problemas de otimização aplicada Introdução Quando plotamos uma função é possível observar como ela varia seu valor ao longo do eixo x ou seja à medida que a variável independente muda seu valor Olhando em certo intervalo a função pode apresentar picos e vales o que se chama de máximo ou mínimo absoluto ou seja o maior pico ou o menor vale Esses pontos são muito importantes pois revelam o valor máximo e mínimo que a função pode chegar e quando eles ocorrem Além disso são muito úteis em problemas de otimização em que se quer maximizar ou minimizar o valor de uma função Neste capítulo você estudará como definir os pontos de máximo e mínimo absolutos e como os encontrar Além disso verá exemplos de problemas de otimização Máximos e mínimos absolutos As funções podem apresentar pontos com maiores ou menores valores ao longo de seu domínio conforme a Figura 1 com exemplos de gráficos de dados ou funções Figura 1 Exemplo de gráficos de dados ou funções Fonte robuartShutterstockcom Embora as funções possam variar seus valores é possível que exista um ponto em seu domínio cujo valor da função é o maior ou o menor Esses seriam o seu máximo ou mínimo absolutos ou seja a função possui um extremo absoluto definido por Anton Bivens e Davis 2014 p 266 Considere um intervalo no domínio de uma função f e um ponto x0 nesse intervalo Dizemos que f tem um máximo absoluto em x0 se fx fx0 com qualquer x no intervalo e que f tem um mínimo absoluto em x0 se fx0 fx com qualquer x do intervalo Se f tiver em x0 qualquer um dos dois máximo absoluto ou mínimo absoluto dizemos que f tem em x0 um extremo absoluto Dado um intervalo no domínio da função não necessariamente a mesma apresentará extremos absolutos nesse intervalo Alguns exemplos disso são mostrados na Figura 2 a seguir Problemas de maximização e minimização 2 Figura 2 Exemplos de funções que contêm ou não pontos extremos em um dado intervalo Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Esses exemplos mostram funções que contêm ou não pontos extremos Nos casos cujos intervalos são abertos às vezes a função contém ou não pontos extremos Mas se o intervalo for fechado a função necessariamente tem pelo menos um ponto de máximo e um de mínimo A seguir o teorema do valor extremo segundo Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito a b então f tem um máximo e um mínimo absolutos em a b O teorema do valor extremo afirma a existência dos pontos de extremo absoluto mas não diz muito em relação a como os achar Na próxima seção você verá como encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos de uma função Identificação de pontos de máximo e mínimo Se a função for contínua com intervalo finito fechado os pontos extremos absolutos podem ocorrer no final do intervalo ou dentro dele Caso os pontos se encontrem dentro do intervalo eles ocorrem nos pontos críticos da função A seguir o teorema segundo Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto a b então ele deve ocorrer em um ponto crítico de f 3 Problemas de maximização e minimização Na Figura 3 veja alguns exemplos de pontos máximos de funções a o máximo absoluto encontrase no extremo do intervalo em b b o ponto de máximo ocorre um ponto estacionário em x0 c o ponto de máximo ocorre onde a função não é diferenciável em x0 Figura 3 Exemplos de pontos de máximo ab soluto de funções Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 268 Problemas de maximização e minimização 4 Para se encontrar os pontos de extremo absoluto você pode seguir o pro cedimento para chegar aos extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo finito fechado a b conforme a seguir ANTON BIVENS DAVIS 2014 1 Encontre os pontos críticos de f em a b 2 encontre o valor de f em todos os pontos críticos e nas extremidades a e b 3 o maior entre os valores do Passo 2 é o valor máximo absoluto de f em a b e o menor valor é o mínimo absoluto Primeiro encontrase os pontos críticos da função depois os valores da função nos pontos críticos e nos pontos de extremo O ponto cujo valor da função for maior é considerado o ponto de máximo absoluto e o ponto cujo valor da função for mínimo é considerado o ponto de mínimo absoluto Determine os extremos absolutos da função fx 6 x43 3 x13 no intervalo 11 Primeiro vamos encontrar os pontos críticos da função Para isso temos que dife renciar a função e igualar a zero Assim Igualando a derivada a zero encontramos que Portanto fx 0 em x 18 e é não diferenciável em x 0 5 Problemas de maximização e minimização Agora vamos calcular os valores da função para os pontos críticos encontrados e para os extremos do intervalo dado Assim temos que x 1 fx 1 9 x 0 fx 0 0 x 18 fx 18 98 x 1 fx 1 3 Assim podemos concluir que o valor de mínimo absoluto é 98 e ocorre em x 18 e o valor de máximo absoluto é 9 e ocorre em x 1 Extremos absolutos quando os intervalos são infinitos Caso o intervalo de interesse de uma função seja infinito ela pode ou não ter extremos absolutos Se a função f for contínua em podese deduzir alguns comportamentos da mesma conforme a Figura 4 Figura 4 Extremos absolutos para o caso de intervalo infinito Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 269 Extremos absolutos quando os intervalos são abertos Caso o intervalo de interesse de uma função seja aberto ela também pode ou não ter extremos absolutos Dada uma função f no intervalo aberto a b podese tirar algumas conclusões de seu comportamento conforme a Figura 5 Figura 5 Extremos absolutos para o caso de intervalo aberto Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 270 Extremos absolutos quando a função contiver um extremo relativo Podemos afirmar que se a função contiver um extremo relativo em um inter valo finito ou infinito esse extremo relativo necessariamente será um extremo absoluto conforme o teorema ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 271 Suponha que f seja contínua e tenha exatamente um extremo relativo em um intervalo digamos em x0 1 Se f tiver um mínimo relativo em x0 então fx0 é o valor mínimo absoluto de f no intervalo 2 Se f tiver um máximo relativo em x0 então fx0 é o valor máximo absoluto de f no intervalo Você sabe a diferença entre extremo relativo e extremo absoluto Os máximos e mínimos relativos são pontos de máximo e mínimo que ocorrem em um intervalo Ou seja x0 é máximo relativo se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 fx para cada x no intervalo E x0 é mínimo relativo se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 fx para cada x no intervalo Lembrese de que nesses pontos a derivada é zero ou não existe Já os extremos absolutos são os máximos absolutos ou mínimos absolutos Ou seja dentre os pontos de extremo relativo e de extremo de intervalo o máximo absoluto é aquele cujo valor da função é o maior dentre todos enquanto o mínimo absoluto é aquele cujo valor da função é o menor dentre todos 7 Problemas de maximização e minimização Problemas de otimização Os métodos apresentados neste capítulo podem ser usados para resolver pro blemas de otimização que são aqueles em que se pretende maximizar ou minimizar alguma função contínua em certo intervalo Problema 1 Suponha que você está construindo um jardim retangular Se você dispuser apenas de 100 m de cerca qual é a maior área possível Como o jardim é retangular ele possui 4 lados com comprimentos x e y em metros como mostrado na Figura 6 Figura 6 Esquema de um jardim retangular com lados x e y Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 275 Como você dispõe apenas de 100 m de cerca o seu perímetro será 2x 2y 100 Já a área do jardim em m2 pode ser escrita como A x y Problemas de maximização e minimização 8 As duas equações estão relacionadas Podemos isolar uma variável em uma delas e substituir na outra Assim isolaremos a variável y na equação do perímetro ficando com Agora substituiremos na equação da área A x50 x A 50x x2 A variável x é um comprimento e não pode ser negativa O perímetro também não deve ser ultrapassado e assim os dois lados que medem x não devem ultrapassar 100 m Assim a variável x deve satisfazer 0 x 50 Agora o problema se resume em achar o máximo absoluto de A no intervalo 0 50 de x Assim vamos derivar a área A em relação a x Igualando a derivada a zero encontramos 9 Problemas de maximização e minimização Portanto o ponto de máximo absoluto ocorrerá em algum dos extremos ou em x 25 Vamos checar cada um deles x 0 A 50 0 0² 0 x 25 A 50 25 25² 1250 625 625 x 50 A 50 50 50² 2500 2500 0 Podese ver que a área máxima será 625 m² e ocorre quando x 25 m Você pode verificar esse resultado plotando a função área Figura 7 Figura 7 Gráfico da função da área no intervalo 0 50 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 276 Para encontrarmos o valor da variável y basta substituir o valor de x na equação do perímetro ou o valor da área máxima na equação da área Assim temos que y 50 x 50 25 25 Ou seja podemos concluir que a maior área ocorre quando se tem um quadrado de lado 25 A partir do exemplo que você acabou de ver podese definir alguns passos para resolver problemas de otimização ANTON BIVENS DAVIS 2014 1 faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema 2 obtenha uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada 3 usando as condições dadas no problema para eliminar variáveis ex presse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função de uma variável 4 encontre o intervalo de valores possíveis para essa variável a partir das restrições físicas do problema Às vezes os intervalos considerados nos problemas de otimização não necessariamente serão fechados Problema 2 Suponha que você esteja planejando confeccionar uma lata cujo volume interno seja de 1 litro 1000 cm3 Qual é a altura e o raio da lata para minimizar a quantidade de material utilizado em sua confecção Vamos supor que o material utilizado seja exatamente igual à área de su perfície do cilindro A lata consiste em dois discos circulares e um retângulo lateral como mostrado na Figura 8 Figura 8 Lata cilíndrica e suas áreas das bases e lateral Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 279 11 Problemas de maximização e minimização As áreas das bases serão dadas por π r2 e a área lateral por 2 π r h A área total de sua superfície será S 2 π r2 2 π r h A área depende de duas variáveis r e h Assim temos de encontrar alguma relação para eliminar uma delas Outra informação que temos do problema é o volume dado por V π r2 h Assim temos que Agora podemos substituir a equação de h na equação da área Assim ficamos com O problema passa a se resumir em encontrar o mínimo absoluto da função S no intervalo 0 de r Analisando os limites do intervalo obtemos que Problemas de maximização e minimização 12 Como visto na Figura 5 é esperado que S tenha um mínimo em 0 Então derivaremos S em relação a r e igualaremos a zero para encontrar o mínimo Assim Igualando a zero obtemos Substituindo na equação de S encontramos a área 13 Problemas de maximização e minimização Já o valor de h será Veja o plote de S por r na Figura 9 a seguir Figura 9 Plote de S por r mostrando o ponto de mínimo Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 280 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 Referência Problemas de maximização e minimização 14 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SaGaH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS