Cálculo 1

Lista de exercícios e situaçõesproblema Derivadas modelagem e problemas de otimização Cálculo I Docente responsável Olivaine de Queiroz Exercício 1 Nos itens 23 a 38 encontre a derivada das funções com respeito às variáveis apresentadas Exercício 2 Uma caixa aberta no topo é feita cortandose quadrados congruentes das quinas de uma folha quadrada de dimensões 12x12 polegadas e dobrandose Calcule as dimensões dos quadrados recortados de maneira que o volume da caixa seja máximo Exercício 3 Um retângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio 2 Calcule a maior área que este retângulo pode ter e suas dimensões 28 r 6sec θ tan θ32 Resolução drdθ 6 32 sec θ tan θ12 sec θ tan θ sec² θ 9sec θ tan θ12 sec θ tan θ sec θ 29 y x² sin⁴ x x cos² x Resolução dydx 2x sin⁴ x x² 4 sin³ x cos x cos² x x 2 cos³ x sin x 2x sin⁴ x 4x² sin³ x cos x 1cos² x 2x sin x cos³ x 30 y 1x sin⁵ x x3 cos³ x Resolução dydx 1x² sin⁵ x 1x 5 sin⁶ x cos x 13 cos³ x x3 3 cos² x sin x 1x² sin⁵ x 5x cos x sin⁶ x cos³ x 3 x cos² x sin x 31 y 118 3x 26 4 12x²1 Resolução dydx 118 63x 25 3 1 4 12x² 2 1x³ 3x 25 1x³ 4 12x²2 32 y 5 2x3 2x 14 Resolução dydx 35 2x4 2 4 2x 1 3 2x² 65 2x4 8x² 2x 1 3 3 33 y 4x 34 x 13 Resolução Usando a regra do produto dydx 44x 33 4 x 13 4x 34 3x 14 164x 33 x 13 34x 34 x 14 4x 33 4x 9 x 14 34 y 2x 51 x² 5x6 Resolução Usando a regra do produto dydx 12x 52 2 x² 5x6 2x 51 6x² 5x5 2x 5 2x² 5x6 2x 52 6x² 5x5 1 2x² 5x514x² 65x 75 2x 52 35 y xex ex³ Resolução dydx ex xex ex³ 3x² ex 1 x 3x² ex³ 36 y 1 2x e2x Resolução dydx 2 e2x 1 2x2 e2x 2 e2x 21 2x e2x 4x e2x 37 y x² 2x 2e5x2 Resolução dydx 2x 2 e5x2 x² 2x 2 52 e5x2 e5x2 2 5x² 6x 6 38 y 9x² 6x 2 ex³ Resolução dydx 18x 6 ex³ 9x² 6x 23x² ex³ ex³ 27x⁴ 18x³ 18x² 6x 6 1 Resolução de Exercícios de Cálculo Exercício 1 Derivadas 23 p 3 t 3 t12 Resolução dpdt 12 3 t12 1 123 t 24 q ³2r r² 2r r²13 Resolução dqdr 13 2r r²23 2 2r 21 r 32r r²23 25 s 43π sin 3t 45π cos 5t Resolução dsdt 43π 3 cos 3t 45π 5 sin 5t 4π cos 3t 4π sin 5t 26 s sin 3πt2 cos 3πt2 Resolução dsdt 3π2 cos 3πt2 3π2 sin 3πt2 27 r csc θ cot θ1 Resolução drdθ csc θ cot θ2 csc θ cot θ csc² θ csc θ cot θ csc θ csc θ cot θ² csc θ csc θ cot θ Exercício 2 Problema de Otimização Problema Uma caixa aberta no topo é feita cortandose quadrados con gruentes das quinas de uma folha quadrada de dimensões 12x12 polegadas e dobrandose Calcule as dimensões dos quadrados recortados de maneira que o volume da caixa seja máximo Resolução 1 Seja x o lado do quadrado recortado 2 As dimensões da caixa serão Comprimento 12 2x Largura 12 2x Altura x 3 Volume da caixa V x x12 2x2 x144 48x 4x2 4x3 48x2 144x 4 Encontrar o valor máximo V x 12x2 96x 144 Igualando a zero 12x2 96x 144 0 x2 8x 12 0 Resolvendo x 8 64 48 2 8 4 2 x 6 ou x 2 x 6 não faz sentido físico elimina todo o material então x 2 5 Verificando que é máximo V x 24x 96 V 2 48 96 48 0 máximo Resposta Devem ser recortados quadrados de 2 polegadas de lado para obter o volume máximo 4 Exercício 3 Problema de Otimização Problema Um retângulo está inscrito em uma semicircunferência de raio 2 Calcule a maior área que este retângulo pode ter e suas dimensões Resolução 1 Considere a semicircunferência centrada na origem com equação y 4x² 2 O retângulo terá Base 2x de x a x Altura y 4 x² 3 Área do retângulo Ax 2x 4 x² 4 Encontrar o valor máximo Ax 24 x² 2x 12 4 x²¹² 2x 24 x² 2x²4 x² Igualando a zero 24 x² 2x²4 x² 24x² 2x² 82x² 2x² 8 4x² x 2 5 Dimensões e área máxima Base 22 Altura 4 2² 2 Área máxima 22 2 4 Resposta A maior área possível é 4 com dimensões 22 base e 2 altura