Calculo 2

Lista N 3 Cálculo Diferencial e Integral 2 Instruções i Escolha uma questão entre a questão 1 e a questão 2 ii Escolha uma questão entre a questão 3 e a questão 4 iii Escolha um exercício das questões 5 6 e 7 iv Escolha uma questão entre a questão 8 e a questão 10 Realize seu trabalho de forma escrita 1 A temperatura aparente do ar I é uma função que depende da temperatura real T e da umidade relativa h de modo que podemos escrever I fT h A tabela seguinte com da os valores de I para alguns valores de T e h Tabela 1 T h 20 20 20 30 30 30 40 40 40 50 50 50 60 60 60 70 70 70 20 20 20 20 20 20 21 22 23 25 25 25 25 25 26 28 30 32 30 30 30 30 31 34 36 38 41 35 35 35 36 39 42 45 48 51 40 40 40 43 47 51 55 59 63 Calcule a Qual é o valor de f35 60 Qual é o seu significado b Para que valores de h temos f30 h 36 c Para que valores de T temos fT 40 42 d Qual é o significado de I f20 h e I f40 h 1 e Como calcularia aproximadamente Dx f4030 e Dy4030 Explique 2 Em 1928 Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norteamericana durante o período de 1899 a 1922 Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia o modelo mostrouse bastante preciso A função utilizada para modelar a produção era da forma PLK bLα K1α onde P é a produção total L a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital investido Cobb e Douglas encontraram que os valores das constantes usando método de mínimos quadrados são b101 e α075 a Calcular o domínio da função de Cobb e Douglas b Calcular as derivadas parciais c Demonstre que a produção dobrará se as quantidades L e K forem dobradas d Determine se a afirmação anterior vale também para a função de produção genérica ie para b e α arbitrários 3 Se fxy 16 4x2 y2 determine fx12 e fy12 4 Se fxy 4 x2 4y2 determine fx10 e fy10 5 Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções a fxy xe3y d fxy xsenx2y b fxy xsenyx e fxy lnx2 y2 c fxy xy2x2y f fxy xyxy 6 Use a Regra da Cadeia para determinar dfdt ou fs e ft a fxy x2 xy2 x 2 t4 y 1 t3 b fxy senθ cosϕ θ st2 ϕ s2 t c fxy xeyz x t2 y 1 t z 1 2t d fxy ex2y x st y ts 7 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções a fxy xe3y d fxy xsenx2y b fxy xsenyx e fxy lnx2 y2 c fxy xy2x2y f fxy xyxy 8 A temperatura em um ponto xy de uma chapa de metal é dada por Txy 601 x2 y2 onde T é medido em C e x e y em metros Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 12 a com relação a x e b com relação a y 9 A temperatura em um ponto xy é Txy medida em graus Celsius Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x 1 t e y 2 t3 onde x e y são medidas em centímetros A função temperatura satisfaz Tx23 4 e Ty23 3 Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos 10 A produção W de trigo em um determinado ano depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva R Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 015 Cano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 01 cmano Eles também estimam que no atual nível de produção WT 2 e WR 8 a Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais b Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo dWdt