Integral Imprópria-Análise da Divergência de Integral com Logaritmo e Polinômio

2 ₀ dx x² ln x² Questão 1 Temos a seguinte integral 𝐼 𝑑𝑥 𝑥2ln 𝑥2 0 Aqui note que podemos separar em duas integrais 𝐼 𝑑𝑥 𝑥2ln 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 𝑥2ln 𝑥2 1 Aqui note que os integrandos são sempre positivos Logo se alguma destas integrais não convergir termos que 𝐼 é divergente Assim vamos considerar a seguinte integral 𝐽 𝑑𝑥 𝑥2ln 𝑥2 1 0 Mas para 0 𝑥 1 temos 𝑥2 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 Logo temos 𝐽 𝑑𝑥 𝑥2ln 𝑥2 1 0 𝐾 𝑑𝑥 𝑥ln 𝑥2 1 0 Logo se 𝐾 diverge 𝐽 também diverge e 𝐼 e divergente Calculando 𝐾 temos 𝐾 𝑑𝑥 𝑥ln 𝑥2 1 0 Seja 𝑢 ln 𝑥2 𝑑𝑢 1 𝑥2 2𝑥𝑑𝑥 2𝑑𝑥 𝑥 Assim temos 𝐾 𝑑𝑢 2𝑢 0 𝐾 𝑢 0 Assim temos que 𝐾 é divergente Logo a integral original diverge Questão 1 Temos a seguinte integral I 0 dx x 2ln x 2 Aqui note que podemos separar em duas integrais I 0 1 dx x 2ln x 2 1 dx x 2ln x 2 Aqui note que os integrandos são sempre positivos Logo se alguma destas integrais não convergir termos que I é divergente Assim vamos considerar a seguinte integral J 0 1 dx x 2ln x 2 Mas para 0x1 temos x 2 x 1 x 2 1 x Logo temos J 0 1 dx x 2ln x 2 K 0 1 dx xln x 2 Logo se K diverge J também diverge e I e divergente Calculando K temos K 0 1 dx x ln x 2 Seja uln x 2du 1 x 2 2 xdx2dx x Assim temos K 0 du 2u Ku 0 Assim temos que K é divergente Logo a integral original diverge