Funções de Duas Variáveis e Aplicações da Diferenciação - Exercícios Resolvidos

1 Função de duas variáveis Considere a seguinte função real de duas variáveis reais xy gxy x² 4 y² 2 Pedese a Determinar o domínio da função b Construir o gráfico usando software de computador c Escrever a equação da curva de nível para o nível c 2 d Esboçar a curva de nível para o nível c 2 2 Aplicações da diferenciação Considere o ponto x₀y₀ 21 do plano cartesiano o vetor v 512 e a seguinte função xy fxy 18 3 x⁵ y⁴ 5 x² y³ x² y² Pedese a Construa o gráfico usando software de computador b Utilize coordenadas polares para calcular o limite da função para xy 00 c Determine as derivadas parciais da função e suas imagens no ponto x₀y₀ d Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da curva no ponto x₀y₀fx₀y₀ e Determine o vetor gradiente no ponto x₀y₀ f Calcule a derivada direcional fv no ponto x₀y₀ Função de duas variáveis a x² 4y² 270 x² 4y² 2 x²2 2y² 1 Dg xy ℝ² x²2 2y² 1 b Gráfico c gfxy 2 d Gráfico x² 4y² 2 2 x² 4y² 2 4 x² 4y² 6 x²6 23 y² 1 Aplicações da diferenciação a gráfico b txy 18 3x⁵y⁴ 5x²y³x² y² x rcosθ y rsenθ lim r0 18 3rcosθ⁵ rsenθ⁴ 5rcosθ² rsenθ³ rcosθ² rsenθ² lim r0 18 3r⁹cos⁵θsen⁴θ 5r⁵cos²θsen³θ r²cos²θ sen²θ lim r0 18 r⁵ 3r⁴ cos⁵θ sen⁴θ 5 cos²θ sen³θ r² lim r0 18 r⁵ 3r⁴ cos⁵θ sen⁴θ 5 cos²θ sen³θ 18 0 0 5 cos²θ sen³θ 0 c dtdx 18 ddx 3x⁵y⁴ 5x²y³ x² y² 3x⁵y⁴ 5x²y³ ddx x² y² x² y²² dHdx 18 15x⁴y⁴ 10xy³x² y² 2x3x⁵y⁴ 5x²y³ x² y²² dHdx 18 45x⁶y⁴ 15x⁴y⁶ 10x³y³ 10xy⁵ 6x⁶y⁴ 10xy³ x² y²² dHdx 18 9x⁶y⁴ 15x⁴y⁶ 10xy⁵ x² y²² dHdx 21 92⁶1⁴ 152⁴1⁶ 1021⁵ 2² 1²² 18 dtdx 21 576 240 20 25 18 796200 19950 dHdy 18 ddy 3x⁵y⁴ 5x²y³ x² y² 3x⁵y⁴ 5x²y³ ddy x² y² x² y²² dHdy 18 12x⁵y³ 15x²y²x² y² 3x⁵y⁴ 5x²y³2y x² y²² dHdy 18 12x⁷y³ 12x⁵y⁵ 15x⁴y² 15x²y⁴ 6x⁵y⁵ 10x²y⁴ x² y²² dHdy 18 12x⁷y³ 6x⁵y⁵ 15x⁴y² 5x²y⁴ x² y²² dHdy x²y² 12x⁵y 6x³y³ 15x² 5y² 8 x² y²² dHdy 21 4 122⁵ 62³ 152² 5 8 4 1² 384 48 60 5 50 36750 x0y0 21 z0 tx0y0 d Equação do plano tangente z z0 tx x0y0xx0 ty x0y0yy0 t21 18 3 25 1 5 23 1 22 12 18 96 205 764 404 1910 z 1910 19950 x2 36750 y1 19950 x 39850 36750 y 36750 1910 z 0 19950 x 36750 y z 67050 0 199 x 367 y 50 z 670 0 e t21 tx 21 ty 21 19950 36750 f v 5 12 v 52 122 25 144 169 13 vv 513 1213 tv 21 t21 v v 19950 36750 513 1213 995650 4404650 5399650 x² 4y² 4x 8y 4