Cálculo 2

Determine o volume do tetraedro delimitado pelos planos xyz1 e pelos planos coordenados x0 y0 e z0 Desenvolva os cálculos de duas maneiras a Cálculo utilizando Integral Tripla Monte e resolva a integral tripla que representa o volume do tetraedro na forma V 1 dV Identifique os limites de integração considerando o plano xyz1 e os planos coordenados b Cálculo utilizando Integral Dupla Reescreva o problema como uma integral dupla sobre a região projetada no plano xy Monte e resolva a integral na forma V fxy dx dy ou V fxy dy dx Instruções Apresente os cálculos detalhadamente indicando todos os passos seguidos para definir os limites de integração e resolver as integrais Compare os resultados obtidos pelas duas abordagens e verifique a coerência entre eles O tetraedro definido pelos planos xyz1 e pelos planos coordenados x0 y0 z0 ocupa a região do primeiro octante limitada acima pelo plano inclinado que intercepta os eixos em x1 y1 e z1 Para descrever essa região por uma integral tripla primeiro projetamos o sólido sobre o plano xy obtendo o triângulo cujos vértices são 00 10 e 01 determinado por x 0 y 0 e xy 1 Para cada ponto xy nesse triângulo a coordenada z varia de 0 até o valor dado pelo plano superior isto é z1xy A integral tripla que calcula o volume V do tetraedro assume então a forma V iiintmathcalD1dV x0 1 y0 1x z0 1xy 1dz dydx Ao avaliar a integral interna em z obtemos z0 1xy 1dzz0 1xy1xy Substituindo esse resultado na integral dupla restante fica x0 1 y0 1x 1xy dy dx Para calcular a integral em y consideramos y0 1x 1xy dy 0 1x 1x dy 0 1x y dy A primeira parte como 1x é constante em relação a y vale 1x y 0 1x1x 1x 1x 2 e a segunda parte é 0 1x y dy y 2 2 0 1x 1x 2 2 Portanto a integral em y resulta em 1x 2 1x 2 2 1x 2 2 Restando então a integral em x V x0 1 1x 2 2 dx1 2 0 1 1x 2dx Para avaliar 0 1 1x 2dx usamos a antiderivada 1x 2dx12 xx 2dxxx 2 x 3 3 e avaliamos de 0 a 1 xx 2 x 3 3 0 1 11 1 301 3 Multiplicando pelo fator 1 2 concluise que V1 2 1 31 6 Desse modo o volume do tetraedro vale 1 6 unidades cúbicas Para reescrever o volume como integral dupla observase que sua projeção no plano xy é o triângulo R definido por x0 y 0 x y 1 Em cada ponto xy R a altura do tetraedro é dada por z1xy de modo que V R 1x y dA Escolhendo integrar primeiro em x e depois em y notamos que para cada valor fixo de y em 01 x varia de 0 até 1 y Assim a integral assume a forma V y0 1 x0 1y 1xy dx dy Ao avaliar a integral interna em x temos x0 1y 1x y dx 0 1y 1y dx 0 1y x dx Como 1 y é constante em relação a x a primeira parte vale 1 y x 0 1 y1y 1y 1y 2 enquanto a segunda parte é 0 1y x dx x 2 2 0 1y 1y 2 2 Subtraindo obtémse x0 1y 1x y dx1y 2 1y 2 2 1y 2 2 Fica então V y0 1 1y 2 2 dy1 2 0 1 1 y 2dy Para calcular 0 1 1y 2dy expandimos o integrando e usamos a antiderivada 12 y y 2dyyy 2 y 3 3 avaliada de 0 a 1 o que resulta em 11 1 31 3 Multiplicando por 1 2 concluise que V1 2 1 31 6 O valor 1 6 coincide com o obtido via integral tripla confirmando a coerência entre as duas abordagens