Calculo de Derivadas Regra da Potencia e Linearidade para Funcoes de uma Variavel

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Cristiane da Silva Regra de derivação potência Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Resolver cálculos de derivadas de funções potência Aplicar as regras de linearidade na derivação de soma de funções e de multiplicação de escalar por uma função Escolher a regra de derivação adequada para representação gráfica de funções Introdução Neste capítulo você conhecerá a regra da potência e suas particularidades para que nos seguintes possa aprofundar o estudo das demais regras de derivação que permitem realizar os cálculos de maneira eficiente e prática com o mesmo rigor do método por limites A regra da potência nos diz como calcular a derivada de expressões da forma xⁿ Além disso juntamente com as demais regras básicas de derivação possibilita o cálculo da derivada de qualquer polinômio Você será capaz de calcular a derivada de expressões em que a potência é negativa fracionária e radical Outro ponto relevante abordado neste capítulo é a análise gráfica Veremos que o sinal da derivada de uma função nos diz se a reta tangente tem inclinação positiva ou negativa e o tamanho da derivada revela a magnitude da declividade Você encontrará diversos exemplos detalhados e representações gráficas para facilitar a compreensão do conteúdo e a análise além de demonstrações claras da regra da potência seguidas de explicações complementares com a finalidade de as tornar elucidativas Regra da potência Essa regra é válida para qualquer expoente Por definição para qualquer expoente n natural temos Vejamos a demonstração da regra da potência conforme Rogawski 2008 p 109110 Suponha que n seja um número natural e denotemos fx xn Então Para simplificar a razão incremental precisamos generalizar as seguintes identidades x2 a2 x ax a x3 a3 x ax2 xa a2 x4 a4 x ax3 x2a xa2 a3 A generalização é xn an x ax n 1 xn 2a xn 3a2 xan 2 an 1 Note que o lado direito dessa equação é igual a xxn 1 xn 2 a xn 3 a2 xan 2 an 1 axn 1 xn 2 a xn 3 a2 xan 2 an 1 Ao efetuarmos a multiplicação todos os termos cancelam exceto o primeiro e o último restando xn an Sendo assim a identidade xn an x axn 1 xn 2a xn 3a2 xan 2 an 1 nos dá Regra de derivação potência 2 Portanto Isso prova que f a nan 1 que também pode ser escrito como f x nxn 1 Podemos pensar na regra da potência como baixar o expoente e subtrair um do expoente Segundo Rogawski 2008 é importante destacar que a regra da potência somente se aplica às funções potência do tipo y xn Ela não pode ser usada com funções exponenciais como y 2x A derivada de y 2x não é x2x 1 Anton Bivens e Davis 2014 destacam que o tipo mais simples de função potência é fx x Como o gráfico de f é uma reta de inclinação 1 segue que f x 1 para todo x ou seja como demonstrado na Figura 1 3 Regra de derivação potência Figura 1 A reta tangente ao gráfico de fx x tem inclinação 1 em cada x Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 156 Embora a fórmula tenha validade somente com potências inteiras positivas de x não é difícil mostrar que a mesma fórmula permanece válida com quaisquer potências inteiras de x ou seja para qualquer expoente real Portanto podemos definir a regra da potência estendida como se r for qualquer número real então Isso significa dizer que para derivar uma função potência subtraímos uma unidade da potência constante e multiplicamos a função potência resultante pelo expoente original ANTON BIVENS DAVIS 2014 1 Seja encontre sua derivada É importante lembrarse de que pode ser escrita como fx x2 Então a derivada é 2 Seja fx x7 encontre sua derivada Regra de derivação potência 4 3 Seja encontre sua derivada É importante lembrarse de que pode ser escrita como Então a derivada é 4 Seja encontre sua derivada É importante lembrarse de que pode ser escrita como fx x5 Então a derivada é f x 5x 5 1 5x6 ou 5 Seja fx x13 encontre sua derivada Adaptado de HOFFMANN et al 2015 6 Vejamos outros exemplos de derivadas de funções potência Adaptado de ANTON BIVENS DAVIS 2014 Note que a regra da potência vale para qualquer variável não apenas para x Ou seja pode ser de nosso interesse calcular Além disso vimos que a regra da potência vale para todos os expoentes tanto negativos fracionários ou irracionais por exemplo ROGAWSKI 2008 5 Regra de derivação potência Regra de linearidade Nesta seção aplicaremos as regras de linearidade das derivadas Para tanto observe o teorema suponha que f e g sejam funções deriváveis A regra da soma diz que a função f g é derivável e f g f g A regra do múltiplo constante diz que para qualquer constante c a função cf é derivável e cf cf Anton Bivens e Davis 2014 explicam a regra do múltiplo constante afirmando que um fator constante pode ser movido para fora do sinal da derivada como O mesmo vale para a diferença ou seja f g f g Vale destacar que essa regra é uma consequência das regras da soma e do múltiplo constante ROGAWSKI 2008 Encontre os pontos do gráfico de ft t3 12t 4 nos quais a reta tangente é horizontal Solução Primeiramente calculamos a derivada Regra de derivação potência 6 Note que a derivada da constante 4 é nula A reta tangente é horizontal nos pontos em que a inclinação ft é zero de modo que resolvemos Portanto as retas tangentes são horizontais em 2 12 e 2 20 como mostrado na Figura 2 a seguir Figura 2 Gráfico de ft t3 12t 4 As retas tangentes são horizontais em t 2 Fonte Rogawski 2008 p 111 Acompanhe mais exemplos envolvendo a regra do múltiplo constante ANTON BIVENS DAVIS 2014 7 Regra de derivação potência Em palavras a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas e a derivada de uma diferença é igual à diferença das derivadas ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 158 Por exemplo Além disso a regra do múltiplo constante pode ser usada para derivar polinômios Encontre se y 3x 8 2x5 6x 1 Solução Fonte Adaptado de Anton Bivens e Davis 2014 Se sua derivada é o que pode ser escrito como Sendo assim como a função raiz quadrada aparece com frequência podemos usar direto o resultado sem precisar transformar em expoente fracionário derivar e voltar para a raiz novamente Regra de derivação potência 8 Na próxima seção aprofundaremos o estudo por meio de análises com auxílio gráfico no intuito de compreender o gráfico de uma função e a relação com sua derivada bem como para identificar graficamente a derivada Representação gráfica Nesta seção você estudará a representação gráfica de algumas funções com atenção especial às suas derivadas observando as funções envolvidas e esco lhendo a regra de derivação adequada Para tanto vejamos alguns exemplos em detalhes 1 Calcule onde Solução Para usar a regra da potência escrevemos A derivada fx nos dá informação importante sobre o gráfico de fx Por exemplo o sinal de fx nos diz se a reta tangente tem inclinação positiva ou negativa e o tamanho de fx revela a magnitude da declividade 9 Regra de derivação potência 2 Qual é a relação entre o gráfico de fx x3 12x e a derivada f x 3x2 12 Solução Observamos que a derivada f x 3x2 12 3x2 4 é negativa em 2 x 2 e positiva em x 2 conforme Figura 3 Figura 3 Gráfico da derivada fx 3x2 12 Fonte Rogawski 2008 p 112 O Quadro 1 a seguir resume essa informação relativa ao sinal demons trado na Figura 4 Propriedade de fx Propriedade do gráfico de fx f x 0 para 2 x 2 A reta tangente tem inclinação negativa em 2 x 2 f 2 f 2 0 A reta tangente é horizontal em x 2 e x 2 f x 0 para x 2 e x 2 A reta tangente tem inclinação positiva em x 2 e x 2 Quadro 1 Propriedade de fx Regra de derivação potência 10 Figura 4 Gráfico de fx x3 12x Fonte Rogawski 2008 p 112 Observe também que fx quando x aumenta Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao gráfico de fx ficam cada vez mais íngremes à medida que x cresce 3 O gráfico de fx está representado na Figura 5 Qual é o gráfico de f x A ou B ROGAWSKI 2008 Figura 5 Gráfico de fx Fonte Rogawski 2008 p 112 11 Regra de derivação potência Solução Na Figura 5 é possível visualizar a seguinte informação sobre as retas tangentes ao gráfico de fx Inclinação da reta tangente Onde Negativa Em 01 e 47 Nula Em x 14 e 7 Positiva Em 14 e 7 Quadro 2 Inclinações da reta tangente Desse modo o gráfico de fx deve ser negativo em 01 e 47 e positivo em 14 e 7 Como apenas B tem essas propriedades então B é o gráfico de fx 4 Em quais pontos se existirem o gráfico de y x3 3x 4 Figura 6 tem uma reta tangente horizontal Figura 6 Gráfico de y x3 3x 4 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 159 Regra de derivação potência 12 Solução Retas tangentes horizontais têm inclinação zero Portanto devemos encon trar aqueles valores de x nos quais y x 0 Derivando obtemos Assim as retas tangentes horizontais ocorrem naqueles valores de x com os quais 3x2 3 0 ou seja tais que x 1 ou x 1 Os pontos correspondentes da curva y x3 3x 4 são 16 e 12 ANTON BIVENS DAVIS 2014 Neste capítulo você retomou conhecimentos sobre a definição de deriva das e conheceu especificamente a regra da potência As regras de derivação trazem benefício ao permitir realizar cálculos de maneira eficiente e prática diferentemente do que fazíamos pela definição de limites Além disso a análise gráfica forneceu informações importantes para o aprofundamento de nossos estudos ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 2 v 1352 p HOFFMANN L D et al Cálculo um curso moderno e suas aplicações 11 ed Rio de Janeiro LTC 2015 680 p ROGAWSKI J Cálculo volume 1 Porto Alegre Bookman 2008 624 p 13 Regra de derivação potência Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS