Cálculo I - Propriedades da Integral e Teorema Fundamental do Cálculo

Exemplochapter Calculo I Daiana Oliveira dos Santos UNIFESP 6 de dezembro de 2022 Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 1 19 6 fc3 fc2 fci fc1 f fcj ax0 x1 x2 x3 xi1 xi xj1xj bxn cj c1 c2 c3 ci K y Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 2 19 A1 b f A2 a 6 Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 3 19 Entao podemos dar a definicao seguinte Diremos que uma fungao f ab R é Riemann integravel ou simplesmente integravel se existir um numero A R tal que n limapo Vin fcAa A onde P x uma partigao de ab ec xi1 xi Integral de Riemann Toda funcao contınua f a b R e integravel Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 5 19 Propriedades da Integral Sejam fg ab R fungoes integraveis Valem as seguintes propriedades e A integral é tinica isto é f tem no méximo uma integral definida e A integral é linear isto 6 para todo k a fungao f kg é integravel e b b b b J tebao de flo kx de fF plo ave J gx ax a a a a e A integral é positiva isto é se fx 0 para todo z ab entao f fx dx 0 Em particular se gx fx para todo zx a b entao b b gx ax fx dz a a Propriedades da integral e A integral é aditiva isto é se existirem as integrais fx dx e i fx dx com c a 6 entao existird a integral fp fx dre b c b fx ax fx ax fx dx a a c Isto quer dizer que se f for integravel em todos os subintervalos de um intervalo ab entao f sera integravel em a b Em particular quando c a teremos f fx dx 0 1 Teorema Fundamental do Calculo Consideremos qualquer fungaéo continua f com ft 0 Entao a funcao x gla f fltyat a pode ser interpretada como a area de f de a até x onde x pode variar de a até b area gx AO of ft fg a ee a xaeth b Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 819 1º Teorema Fundamental do Calculo Para calcular gx por definicao primeiro observamos que para h 0 gx h gx e obtida subtraindose as areas logo ela e a area sob o grafico de f de x ate x h Para h pequeno essa area e aproximadamente igual a area do retˆangulo com altura fx e largura h gx h gx hfx logo gx h gx h fx Portanto intuitivamente esperamos que gx lim h0 gx h gx h fx Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 9 19 1 Teorema Fundamental do Calculo Teorema Primeiro Teorema Fundamental do Calculo 1TFC Seja f uma fungao continua em ab entdo a fungao g definida por x gx ft dt aab a é diferencidvel em ab e gx fa Se xe xh estao em ab entao ath x gle hge pat fo pte at a a x ath x ath ft a ft dt ft dt ft di a x a x logo para h 4 0 gla hgx 1 T t dt 2 7 0 Suponhamos que h 0 Como f é continua em xxz h pelo Teorema de Weierstrass existem 21 e 22 em xx h tais que fv1 ft fx2 para todo t x x h Logo ath fleryhs ft dt flaah a Como h 0 podemos dividir por h obtendo 1 ath fer 5 f fb dt flea a ou equivalentemente xh ga ft gest gle fx2 A desigualdade anterior pode ser provada de forma similar para h 0 Agora quando h 0 71 e x2 x Conseqiientemente lim fv1 Jim f21 fx elim f2 lim fx2 fx pois f é continua e assim pelo Teorema do Confronto ga h gx gf x jim fa eo LTFC fica demonstrado Ache a derivada da fungao gx fj V1 t dt Como ft V1 é continua pelo 1TFC gx V14 2 Antiderivada Ja sabemos que a derivada de uma funcao constante e zero Entretanto uma funcao pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domınio e nao ser constante por exemplo a funcao fx x x e tal que fx 0 em todo ponto de seu domınio mas f nao e constante O seguinte corolario do TVM mostra que se f tiver derivada zero num intervalo entao f sera constante nesse intervalo Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 13 19 Antiderivada Corolario Se f for contınua em a b e diferenciavel em a b e fx 0 para todo x a b entao f sera constante Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 14 19 Antiderivada Corolario Se duas funcoes definidas num intervalo aberto I tiverem a mesma derivada em todo ponto x I entao elas vao diferir por uma constante Exercıcio Encontre todas as funcoes f definidas em R tais que fx x2 e fx sen x Definicao Uma primitiva ou antiderivada de f em um intervalo I e uma funcao derivavel em I tal que F x fx para todo x I Observacao Se F for uma primitiva de f entao F sera contınua pois F e derivavel Daiana Oliveira dos Santos Unifesp 6 de dezembro de 2022 15 19 Integrais Se Fx é uma primitiva de fx entao Fx k também sera primitiva de f Por outro lado se houver uma outra funcgao Gx primitiva de f pelo visto anteriormente F e G diferem neste intervalo por uma constante Segue que as primitivas de f sao da forma Fx k com k constante Denotamos por to dx Fxk k constante a familia de primitivas de f e é chamada de integral indefinida de f 3 x a dx k 3 paca fidrark Das formulas de derivacao ja vistas seguem as seguintes primitivas a fedx cx k b e dx e k ott c fadx a1 d cosadx sen k atl 1 1 e fdrnxk x0 f J da In2 k x x g fsen edz cosz k h fsecxdxtgrk i fsecadx Inseca tga k j ftgadx Incosa k fsecatg xdx seca k 1 f er dx arctgax k m f ao dx arcsen x k Teorema Segundo Teorema Fundamental do Calculo 2TFC Suponha que f continua em ab entao b f fa dx Fb Fa onde F é qualquer primitiva de f ou seja uma fungdo tal que F f Seja gx J ft dt Pelo 1TFC gx fx ou seja g é uma primitiva de f Pelo Coroldrio 2 duas primitivas s6 podem diferir por uma constante portanto Fx gx k onde k é uma constante Fazendo xz a a formula implica que Fa k e fazendo x b temos Fb gb k Fa Dat b F Fa 96 1 at a e a prova esta completa Calcule a integral de fx x no intervalo 1 2 2 32 2 x 8 1 7 d nr 333 0 Calcule a 3x 1 de 1 0 0 0 0 a2 321drx de sede ldx 1 1 1 1 a4 4 322 ti 4f 21 170 4