Calculo de Várias Variáveis

Taxa de Variação Potência de um Resistor Essa Atividade engloba os seguintes objetivos Compreender o conceito de funções de mais de uma variável Desenvolver a habilidade de derivar funções de mais de uma variável Compreender e utilizar o conceito de derivações implícitas Um resistor elétrico é um dispositivo capaz de transformar energia elétrica em calor Ao passarem pelo resistor as colisões resultantes dos elétrons com a rede cristalina do material que compõe o resistor ocasionam aumento de sua agitação térmica resultando em transferências de calor para as vizinhanças do resistor Por esse motivo os resistores são bastante empregados em circuitos que têm como intuito a produção de calor como em aquecedores elétricos panelas elétricas fritadeiras elétricas ferros de passar roupa chuveiros elétricos etc A potência P PV R em watt consumida em um resistor elétrico é dada pela equação PRV² 0 na qual R é a resistência em ohms e U é a diferença de potencial ddp entre os terminais do resistor dada em volts Com base nesses dados pedese 1 Encontre a potência consumida em um resistor no qual V 60 volts e R 20 ohms 2 Utilizando a derivação implícita determine a taxa de variação de P em função de R 3 Utilizando a derivação implícita determine a taxa de variação de em função de P em função de V Aqui basta usarmos a relação dada pois temos V60 volts e R20 ohms Então explicitando P temos PR V2 0 PR V2 P V2 R Logo pondo valores obtemos P 602 20 6060 20 180 watt Ou seja a resposta desejada é PV60 R20 P 180 watt 2 Agora usando derivação implicita vamos então obter PR Com efeito temos o seguinte desenvolvimento PR V2 0 R0 RPR V2 0 RPRVR V2 0 RPRVR RV2 Continuando temos 0 RPRVR RV2 R PRVR R RPRV 0 R PRVR R RPRV R PRVR PRV em que como V não depende de R segue que R V2 0 Portanto obtemos R PRVR PRV 0 explicitando R PRV temos R PRV PRV R que é o resultado desejado Aqui usamos a regra do produto para derivadas pois P PRV é função de R 3 Agora usando derivação implicita vamos então obter PV Com efeito temos o seguinte desenvolvimento PR V2 0 V0 VPR V2 0 VPRVR V2 0 VPRVR VV2 Logo temos que 0 VPRVR VV2 V PRVR 2V R V PRV 2V Então obtemos aqui R V PRV 2V 0 explicitando V PRV obtemos V PRV 2V R Observe que diferente da nota não fazemos regra do produto De fato isso ocorre pois R não é função de V assim sendo mais simples essa conta que é o resultado desejado Em síntese as respostas são 1 P6020 180 watt 2 R PRV PRV R 3 V PRV 2 V R