Centro de Massa e Densidade de Lâmina Quadrada Calculo Integral Duplo e GeoGebra

CONTEXTUALIZAÇÃO Considerando que δxy seja a densidade de massa medida em unidades de massa por unidade de área então a massa total do objeto delimitado por uma região plana D pode ser calculada por meio da integral dupla da função densidade de massa sobre a região que define a placa MDδxydA O primeiro momento com relação a x é definido como a integral MyDxδxydA Analogamente o primeiro momento sobre o plano y é a integral MxDyδxydA O centro de massa é encontrado a partir dos primeiros momentos Assim a coordenada x do centro de massa é dada por xMyM E analogamente a coordenada y do centro de massa é dada por ȳMxM ETAPA 1 1a Considere lâmina quadrada cujos lados são unitários em cm tal que a região esteja no primeiro quadrante e que duas de suas arestas estejam sobre os eixos coordenados determine a sua área utilizando uma integral dupla 1b Compare a área da lâmina com a fórmula da área de um quadrado Al² O que se pode concluir 1c Faça um esboço da lâmina quadrada utilizando o software Geogebra e confira se o volume do sólido obtido foi o mesmo daquele obtido na fase anterior Dica O Geogebra é gratuito Você poderá fazer o download pelo link httpswwwgeogebraorgdownloadlangpt ETAPA 2 Considerando a lâmina quadrada do exemplo anterior você deverá determinar a localização do seu centro de massa Para isto leia as questões que seguem 2a Supondo que a placa de petri da etapa anterior tenha densidade volumétrica dada por δxy2xy1 kgm² obtenha a massa do objeto 2b Agora que você já encontrou a massa da lâmina determine o seu centro de massa 2c No software Geogebra localize a coordenada do centro de massa da lâmina Cálculo 2 Etapa 1 Soluções Solução da 1 a A lâmina está representada na seguinte figura Figura 1 Região de Integração D A área da lâmina é dada por AD1dA0101lydx011dx1 Solução da 1 b A região D é um quadrado de lado l1 logo A1²1 Concluímos que ambos os métodos levam a mesma conclusão de que a área é igual a 1 Solução da 1 c O desenho utilizando Geogebra já está no item a Etapa 2 Solução da 2 a Se a densidade volumétrica da placa é δxy2xy1 kgm² então a massa é dada por MDδxydA10102xy1dydx102xyy²2y01dx102x12dxx²x20132 kg Solução da 2 b Precisamos usar o valor M32 para calcular as coordenadas do centro de massa Temos então MxDyδxy10102xyy²ydydx10xy²y33y²201dx10x16dxx22x60123 Analogamente temos MyDxδxy10102x²xyxd x dy1023x³yx²2 x²201 dy10y276dyy²476y011112 Logo as coordenadas do centro de massa são xMyM112231118 yMxM232349 Solução da 2 c O centro de massa está representado na figura a seguir Figura 2 Centro de Massa de D