Cinematica do Ponto Material: Conceitos de Posicao, Deslocamento e Velocidade

11 Cinemática de um ponto material Para delinearmos um movimento temos que dominar qual o perfil de móvel está sendo estudado e quais prognósticos existem para facilitar o movimento a ser explicado Na mecânica clássica ponto material massa pontual ou massa puntiforme são concepções feitas para configurar todo objeto que em faculdade do fenômeno têm características desprezáveis Por exemplo no estudo dos movimentos da Terra dada a distância que separa este corpo dos demais suas características são torpes e ela consegue ser encarada como um ponto material No entanto caso outro corpo se aproximasse da Terra seria fundamental sucumbir esta comparação e pensar no volume da Terra e sua estrutura Acompanhe a seguir uma explanação sobre Cinemática do movimento retilíneo 12 Cinemática do movimento retilíneo A cinemática de um ponto material é distinguida especificandose em todo momento a sua posição deslocamento e velocidade Interaja nos botões para conhecer esses conceitos em detalhes Posição Em Física a posição de um corpo é a descrito de seu lugar no espaço A identificação da posição é feita a partir de um vetor denominado vetor posição que pode ser escrito em função de um sistema de coordenadas de um referencial A unidade de medida da posição no Sistema Internacional de Unidades é o metro Deslocamento O deslocamento de um corpo é uma grandeza vetorial módulo direção e sentido definida como a variação de posição de um corpo em um dado intervalo de tempo Dessa forma o vetor deslocamento pode ser obtido pela diferença entre as posições final e inicial Velocidade Velocidade está relaciona à variação da posição no espaço em relação ao tempo Ou seja qual a distância percorrida por um corpo num determinado intervalo temporal É uma grandeza vetorial possuindo direção sentido e módulo Este último é chamado de rapidez e de dimensões L T¹ sendo medida no SI em metros por segundo ms Em geral os símbolos da velocidade são 𝑣 O primeiro para a velocidade escalar e o segundo para o vetor velocidade A variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração 2 Tipos de movimento Com base nas definições de posição deslocamento e velocidade precisamos entender os tipos de movimento Conforme a Física existem dois tipos de movimentos considerados mais simples o movimento retilíneo uniforme MRU e o movimento retilíneo uniformemente variado MRUV que são representados por equações lineares e quadráticas respectivamente Para outros tipos de movimento mais complexos utilizase a derivada 21 Movimento Retilíneo Uniforme É o movimento caracterizado por coisas com velocidade contínua em um caminho retilíneo em linha reta Para tal é primordial que a resultante das forças que operam mediante o corpo seja nula Concedido um deslocamento Δs Δt A velocidade escalar 𝑣 é dado por 𝑣 Δ𝑠 Δ𝑡 Apenas no MRU a velocidade de um corpo seja qual for momento é similar à sua velocidade média Somada a essa informação a posição e velocidade do corpúsculo em um estipulado instante comporta estipular a localização da partícula em seja qual for posterior instante Historicamente falando Isaac Newton desenvolveu a derivada para estudar os movimentos dos corpos como ocorrem na natureza E assim entendemos que é necessário usar limite para calcular a velocidade instantânea de um corpo em certo instante medindose uma variação infinitesimal de espaço em um intervalo infinitesimal de tempo conforme equação abaixo 𝑣 lim Δ𝑡0 Δ𝑠 Δ𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 Referente ao conhecimento de derivada temos a seguinte equação 𝑣 𝑑𝑠 𝑑𝑡 lim Δ𝑡0 𝑆 𝑡 Δ𝑡 𝑆 𝑡 Δ𝑡 É importante saber que é possível calcular a velocidade de um objeto a partir do gráfico sxt Com a derivação ela fornece a inclinação da reta tangente ao ponto na curva correspondente sendo essa a velocidade instantânea 22 Aceleração e desaceleração Em Cinemática ainda temos a taxa de variação da velocidade denominada aceleração símbolo a sendo esta uma grandeza vetorial de dimensão comprimentotempo ou velocidadetempo Em unidades do Sistema Internacional é quantificada em metro por segundo ao quadrado ms² No CGS Centímetrogramasegundo a aceleração é quantificada em Gal sendo que 1 Gal equivale a um centímetro por segundo ao quadrado cms² Já Desaceleração é a aceleração que diminui o valor absoluto da velocidade Para isso a aceleração precisa ter componente negativa na direção da velocidade Isto não significa que a aceleração é negativa Logo a aceleração é a rapidez de acordo com que a velocidade de um corpo varia Desta forma o especial movimento que não tem aceleração é o Movimento Retilíneo Uniforme MRU uma vez que acelerar um corpo é trocar a sua velocidade em um espaço de tempo A aceleração instantânea é determinada por a 𝑑𝑣 𝑑𝑡 a vetor aceleração v vetor velocidade t tempo A seguir veja uma explanação sobre componentes cartesianos 23 Componentes cartesianos Anteriormente estudamos sobre cinemática do movimento retilíneo sendo que movimento retilíneo é aquele movimento em que o corpo ou ponto material se desloca apenas em trajetórias retas Nesse tipo de movimento a direção do vetor velocidade é constante Agora vamos entender sobre componentes cartesianos Figura 1 Façase o vetor de posição de uma marca P em rol a um ponto de referência O Fonte Elaborado pelo autor 2020 Para representar o movimento da caneta um modelo de coordenadas cartesianas dispomos a origem em O imagem acima para que os componentes de r são as coordenadas x y e z de P r xi yj zk Tendo que o modelo de coordenadas não rode os vetores unitários são i j e k Logo a velocidade de P é 𝑣 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 Externando velocidade em limites de segmentos escalares adquirimos equações escalares que especificam os constituintes da velocidade com as coordenadas de P 𝑣 𝑣𝑥𝑖 𝑣𝑦𝑗 𝑣𝑧𝑘 𝑣𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑣𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 A aceleração de P é 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑗 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑘 E a aceleração representada em condições de componentes escalares é 𝑎 𝑎𝑥𝑖 𝑎𝑦𝑗 𝑎𝑧𝑘 Desta forma conseguimos as equações de escalares 𝑎𝑥 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑎𝑧 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑣𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑣𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 As equações acima especificam o movimento de um ponto em comparação a um sistema cartesiano Observe que as equações que descrevem o movimento com cada direção de coordenada são idênticas em forma às equações que descrevem o movimento de um ponto ao longo de uma linha reta Conseqüentemente o movimento em cada direção de coordenada usualmente é capaz ser considerado utilizando os sistemas extensíveis ao movimento em uma linha reta BEDFORD 2004 A seguir conheça a Dinâmica de um ponto material 3 Dinâmica de um ponto material Anteriormente estudamos sobre a cinemática de um ponto material Para este estudo foi levado em consideração Ponto material ou Partícula Todo objeto onde dimensões tamanho são desprezáveis caso comparado ao movimento observado Corpo extenso Todo objeto onde suas dimensões não podem ser desprezadas caso comparado ao movimento examinado Cinemática É a esfera da mecânica que examina o movimento de corpos ou partículas sem relação a massas ou a forças Agora iremos aprender a dinâmica de um ponto material sendo que em Física a dinâmica é uma esfera da mecânica que pesquisa o movimento de um corpo e os motivos desse movimento Em ensaios diários podemos assistir o movimento de um corpo a partir do contato deste com um ou mais corpos Neste contexto a partir do momento em que as máquinas e estruturas experimentaram exercer suas funções em altas velocidades e com acelerações relevantes tomouse fundamental empreender cálculos entendidos nos princípios da dinâmica ao invés dos princípios da estática E assim nos dias atuais o rápido desenvolvimento tecnológico requer uma aplicação crescente dos princípios da mecânica em particular da dinâmica Esses ensinamentos são essenciais para 21 Força e aceleração A analogia que se encontra entre uma força e a aceleração efetivada por essa força é o tema deste item O conhecimento dessa comparação da forma como foi citado por Newton é avocado de mecânica newtoniana A mecânica newtoniana não consegue ser empregada a quaisquer circunstâncias Se as velocidades dos corpos abrangidos são muito grandiosas semelhantes à velocidade da luz a mecânica newtoniana deve ser trocada pelos princípios da relatividade restrita de Einstein que é verdadeira para seja qual for velocidade Se os corpos envolvidos são muito pequenos de dimensões atômicas ou subatômicas como por exemplo os elétrons de um átomo a mecânica newtoniana deve ser substituída pela mecânica quântica Neste contexto hoje em dia os físicos pensam na mecânica newtoniana diante de um caso individual dessas duas especulações mais extensas Embora assim tratase de um caso particular muito fundamental já que é capaz ser aplicado ao conhecimento do movimento dos mais diferentes objetos desde corpos muito pequenos quase de características atômicas até corpos exorbitantemente grandes galáxias e conjuntos de galáxias 22 Leis de Newton para o movimento Anteriormente estudamos sobre força e aceleração Você pode se perguntar Qual é a relação existente entre força e aceleração com as leis de Newton para o movimento certo Leis de Newton é uma expressão designada às três leis que possibilitam e constituem a base primária para compreensão dos comportamentos estático e dinâmico dos corpos materiais em escalas quer celeste quer terrestre Assim a partir de agora vamos entender as leis de Newton sobre o movimento As bases originais sobre a dinâmica vieram afastadas após 1590 época em que Galileu efetivou observações práticas dos movimentos de pêndulos e corpos em queda As conclusões obtidas de seus experimentos forneceram alguma compreensão dos efeitos das forças agentes nos corpos em movimento Não obstante apenas com Isaac Newton em 1687 as leis gerais do movimento de um corpo subordinado a forças foram aprendidas Nesse ano pela primordial vez Newton levantou as três leis fundamentais da dinâmica Rapidamente reformuladas as três leis de Newton podem ser consequentemente declaradas Primeira Lei Segunda Lei Terceira Lei Um ponto material permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante se nenhuma força agir sobre ele Um ponto material submetido a uma força F experimenta uma aceleração a de mesma direção e sentido de F com módulo proporcional à intensidade F da força As forças mútuas de ação e reação entre dois pontos materiais têm a mesma intensidade a mesma reta de ação e sentidos opostos A primeira e a terceira lei foram amplamente utilizadas no desenvolvimento das concepções da estática Não obstante essas duas leis se encontram respeitadas na dinâmica A segunda lei de Newton é o embrião de praticamente todo esse conhecimento uma vez que ela associa o movimento acelerado de um ponto material às forças nele causantes Dimensões de força e aceleração podem ser empreendidas no laboratório de forma que de consenso com a segunda lei se uma força F familiar é empregada a um ponto material a aceleração a do ponto pode ser dimensionada Uma vez que força e aceleração são diretamente proporcionais à constante de proporcionalidade m que pode ser determinada considerandose a razão m Fa Assim o escalar positivo m é qualificado massa do ponto material Desta forma estando constante enquanto qualquer aceleração o m gera uma medida quantitativa da resistência do ponto material às mutações em sua velocidade Ainda é importante frisar que se a massa do ponto material é m a segunda lei de Newton pode ser reportada no posterior perfil matemático conforme abaixo F m a Essa equação familiarizada como equação de movimento é uma das mais pertinentes expressões da mecânica Hibbeler 2011 Finalmente podemos concluir que as leis de Newton para o movimento vieram testadas por experiências e considerações por mais de 200 anos Elas são uma sublime previsão caso restritas às escalas de dimensão e velocidades encontradas no nosso dia a dia Veja a seguir uma interpretação sobre trabalho de uma força 33 Trabalho de uma força Anteriormente estudamos sobre as leis de Newton para o movimento E assim você pode se perguntar Qual é a relação existente entre as leis de Newton para o movimento com o trabalho de uma força Clique nos botões para entender primeiramente os conceitos Trabalho Força Com base nesses conceitos a partir de agora vamos entender trabalho de uma força Você deve estar habituado a considerar o Trabalho como um ente que requisite esforço físico ou mental como estudar carregar um tijolo ou andar de bicicleta Mas em Física Trabalho é a transferência de energia por uma força Se você estica uma mola puxandoa juntamente sua mão conforme imagem acima é possível observar que a energia é procrastinada de você para a mola e esta energia é similar ao trabalho sucedido pela força de sua mão mediante a mola A energia transferida para a mola pode se tornar clara se você liberta a mola e a retrai e pulsa velozmente Além disso Trabalho é uma grandeza escalar que pode ser positiva negativa ou zero conforme itens abaixo Trabalho positivo Trabalho realizado pelo corpo A sobre o corpo B sendo positivo se alguma energia é transferida de A para B Como exemplo no caso em que você estica uma mola o trabalho realizado por você sobre a mola é positivo porque energia é transferida de você para a mola Trabalho negativo Trabalho realizado pelo corpo A sobre o corpo B sendo negativo se alguma energia é transferida de B para A Se não existe energia transferida o trabalho realizado é zero Como exemplo você empurra sua mão de forma a contrair lentamente a mola até que a mesma fique frouxa Durante a contração a mola a energia é transferida da mola para você e o trabalho que você realiza sobre a mola é negativo Trabalho nulo Se não existe energia transferida o trabalho realizado é zero Mas quando se executa trabalho Trabalho é realizado sobre um corpo por uma força quando o ponto de aplicação da força se desloca Para uma força constante o trabalho é igual à componente da força no sentido do deslocamento vezes x a magnitude do deslocamento Como exemplo imagine você empurrando uma caixa sobre o piso com uma força horizontal constante F no sentido do deslocamento Δxi conforme imagem abaixo Figura 3 Homem empurrando uma caixa sobre o piso Fonte Elaborado pelo autor 2020 Como a força age acerca da caixa no similar sentido do deslocamento o trabalho W sucedido pela força ao longo da caixa é W F Δx Pense agora que você está arrastando a caixa no decurso de um barbante preso a ela com a força concebendo um ângulo com o deslocamento como apresentado na imagem acima item b Nesse caso o trabalho sucedido acerca da caixa pela força é dado pela componente da força no sentido do deslocamento multiplicado pelo módulo do deslocamento W Fₓ Δx Fcosθ Δx F magnitude da força constante Δx magnitude do deslocamento do ponto de aplicação da força θ ângulo entre os sentidos dos vetores força e deslocamento O deslocamento do ponto de diligência da força é similar ao deslocamento de seja qual for outro ponto da caixa já que a caixa é dura e se move sem rotacionar Se você levanta ou abaixa uma caixa utilizando sobre ela uma força F você está encerrando trabalho mediante a caixa Considere positiva a orientação y e seja Δy o deslocamento da caixa O trabalho consumado por você mediante a caixa é positivo se Δy e Fᵧ têm o similar sinal E negativo se têm sinais divergentes No entanto se você está apenas agarrando a caixa em uma posição fixa em consenso ao conceito de trabalho você não está encerrando trabalho sobre a caixa porque Δy é zero conforme imagem abaixo Dessa forma podemos concluir que há duas condições para que uma força realize trabalho Que haja deslocamento Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento A resolução acima é válida para todo tipo de força da sua raiz Por exemplo força de atrito elétrica magnética etc TIPLER 2009 A seguir veja uma explanação sobre trabalho e energia 34 Trabalho e energia No subtópico anterior estudamos sobre trabalho de uma força Você pode se perguntar Qual é a relação existente entre trabalho de uma força com trabalho e energia Para responder a essa questão analise sob a seguinte ótica o teorema do trabalhoenergia é um teorema da mecânica clássica segundo o qual o trabalho realizado sobre um corpo de massa m por uma força F é igual à variação da energia cinética desse corpo Logo concluímos que força tem relação com trabalho assim como com energia Assim agora vamos entender trabalho e energia Vejamos um bateestacas conforme imagem abaixo que usa um bloco de massa m pendurado inicialmente a uma altura z0 acima de uma estaca que se quer soterrar No movimento é deixado a estaca cair mediante ela atingindoa com velocidade v Fonte Elaborado pelo autor 2020 Como resultado item b da imagem a estaca penetra a uma profundidade Δz Substituindo a E 12 mv² mgz obtemos inicialmente E mgz₀ No instante em que o bloco atinge a estaca z 0 temos a equação E 12 mv² A força F com que o bloco age de acordo com a estaca é uma força impulsiva típica de um processo de colisão que age em um intervalo de tempo exorbitante curto e tem uma extensão muito grande através este intervalo Além disso a estaca atua sobre o bloco com uma força igual e contrária F cujo efeito é desacelerar o bloco até que ele pare Vamos admitir para simplificar que essa desaceleração é uniforme correspondendo a uma aceleração constante a a 0 Pela teoria como F é muito grande podemos desconsiderar outras forças inclusive a forçapeso em conflito com F o que resulta nessa equação de movimento do bloco F ma Empregando a equação v² v₀² 2aX X₀ à desaceleração do bloco da velocidade v até parar obtemos dessa forma Δz 0 v² 2aΔz As três últimas equações dão dessa forma em z 0 E 12 mv² FΔZ Sugerimos que a força F empregada à estaca enterrandoa de Δz ou seja gerando um deslocamento de Δz na direção da força gera um trabalho ΔW FΔZ mediante a estaca O trabalho é maior quanto maior o deslocamento ou a força sob a ação da qual ele se executa Pertinente à velocidade v com que assume a estaca o bloco tem a faculdade de elaborar esse trabalho realizando uma força acerca da estaca A essa capacidade de produzir trabalho denominamos Energia No instante em que atinge a estaca a energia E do bloco dada pela está associada unicamente com sua velocidade v Este perfil de energia imposta ao movimento chamase energia cinética a qual a designaremos por T A energia cinética de uma partícula de massa m que se movimenta com velocidade v é obtida por T 12 mv² onde v v Por outro lado no momento inicial em que o bloco está em inércia à altura z0 sua energia a mesma é determinada pela EQUAÇÃO Essa forma de energia que só depende da posição em que o bloco se encontra chamase energia potencial e vamos representála por U Para uma massa m localizada à altura z nas imediações da região terrestre a energia potencial gravitacional é determinada pela equação U mgZ No campo gravitacional próximo da superfície terrestre a energia total de uma partícula de massa m é dada pela equação e se conserva E T U 12 mv² mgZ Logo podemos concluir que a energia total de uma partícula é a soma de sua energia cinética com sua energia potencial Porque o nome energia potencial Essa energia fica armazenada em forma potencial como no caso do bloco suspenso podendo converterse em energia cinética e realizar trabalho NUSSENZVEIG 1998 Logo podemos concluir que para objetos extensos compostos por diversos pontos a energia cinética é a soma das energias cinéticas das partículas que constituem um tipo especial de forças conhecida como forças conservativas A seguir veja uma explanacao sobre a dinamica de um sistema de pontos materiais Bons estudos 4 Dinamica de um sistema de pontos materiais Anteriormente estudamos sobre a dinamica de um ponto material Nesse contexto voce pode se perguntar O porque de estudar a dinamica de um sistema de pontos materiais Para obter a resposta analise sob esta otica um sistema de pontos materiais e um conjunto de corpos entre os quais se exercem forcas de interacao Quando a distribuicao da massa de um corpo qualquer e homogenea e possivel equilibralo aplicando uma forca no seu centro A partir dai a resolucao de problemas se torna mais facil em virtude do calculo do centro de massa desse sistema de pontos materiais Logo visto que a dinamica pode ser estudada para um unico ponto assim como para um sistema de pontos estabelecese uma relacao Pense uma particula de massa m sob a acao de distintas forcas Relembramos que a segunda lei de Newton e capaz ser representada pela equacao F ma A equacao acima associa as forcas que trabalham sobre a partícula e o vetor ma conforme imagem abaixo Com relacao a imagem acima em especial nao ha excecoes conforme o perfil de ligacao dos pontos materiais Como conclusao a investigacao a continuar sera da mesma forma empregada ao movimento de um sistema solido liquido ou gasoso Num dado instante o iesimo ponto material de massa mᵢ esta submetido a um sistema de forcas internas e a uma forca externa resultante Clique para conhecer cada conceito Forca interna resultante Representada simbolicamente por fᵢ e determinada pelas forcas que os outros pontos materiais do sistema exercem sobre o iesimo ponto Frequentemente essas forcas se apresentam por contato direto nao obstante a soma se aplicado por todos os pontos do sistema Forca externa subsequente Forma por modelo o impacto de forcas gravitacionais eletricas magneticas ou de contato através do o iesimo ponto material e os corpos ou pontos materiais adjacentes nao envolvidos no sistema Ja as delineacoes de corpo livre e dinamico para o iesimo ponto podem ser consideradas na Imagem acima item b Aplicando a equacao de movimento para o ponto material temos F ma Fᵢ fᵢ mᵢ aᵢ Caso ajustemos a equacao de movimento a cada um dos outros pontos do modelo colhemos equacoes similares E assim acrescendo vetorialmente todas essas equacoes alcancamos a seguinte equacao F₁ f₁ mᵢ aᵢ Neste sentido a soma das forcas internas se suprime pois as forcas internas entre dois pontos materiais sao contudo distintas Isto e tem indefinidamente o similar modulo a mesma direcao e sentidos opostos e portanto se cancelam no somatorio Consequentemente resta somente a soma das forcas externas de forma que a equacao de movimento para o modelo de pontos seja Fᵢ mᵢ aᵢ Se rG e um vetor de posicao que dispoe o centro de massa G dos pontos materiais Figura 17a logo pela descricao de centro de massa mrG mᵢ rᵢ De modo que m mᵢ e a massa total do sistema Derivando duas vezes essa equacao em analogia ao tempo e julgando que nao disponha massa cruzando ou indo do sistema dispomos maG mᵢ aᵢ Trocando esse resultado na equacao Fᵢ mᵢ aᵢ obtemos essa resposta F maG Fique de olho Por conseguinte a soma das forças externas que atuam no sistema é similar à massa total dos pontos materiais multiplicada pela aceleração de seu centro de massa Por consequência a soma das forças externas que operam no sistema é análoga à massa total dos pontos materiais multiplicada pela aceleração de seu centro de massa HIBBELER 2011 Sobre tais considerações interaja com as setas do bloco abaixo para conhecer detalhes importantes A equação de movimento consiste em impressões empíricas e é inquestionável apenas caso a equação seja empregada em analogia a um referencial inercial A equação de movimento indica que uma força motiva uma aceleração Um referencial inercial não gira Este somente tem movimento de translação com velocidade regular ou está em inércia Massa é uma propriedade da matéria que concede uma ideia quantitativa de sua resistência às substituições de velocidade É uma quantidade absoluta Peso é uma força causada pela gravidade terrestre necessitando da altitude e latitude da massa em analogia à extensão terrestre A seguir veja uma explanação das equações do movimento coordenadas cartesianas 42 As coordenadas cartesianas No subtópico anterior estudamos sobre a equação do movimento de uma forma geral para um sistema de n pontos materiais Vamos estender o estudo sobre as equações do movimento para o caso de coordenadas cartesianas O plano cartesiano é formado pelos eixos x e y sendo um sistema de coordenadas desenvolvido por René Descartes Esse sistema de coordenadas é formado por duas retas perpendiculares chamadas de eixos cartesianos Para entender como o planto cartesiano funciona veja a imagem abaixo Fonte Elaborado pelo autor 2020 Figura 7 Componentes cartesianos Utilizando a equação de movimento dispomos da seguinte representação F ma Fx i Fy j Fz k max i ay j az k Para que essa equação seja completada os elementos i j k no primeiro membro devem ser iguais aos seus termos correspondentes no segundo membro Consequentemente podemos descrever as equações escalares Fx max Fy may Fz maz Em especial se o ponto material tem movimento exclusivo ao plano xy logo as duas fundamentais equações são utilizadas para descrever o movimento Hibbeler 2011 A seguir veja uma explanação das equações do movimento coordenadas normal e tangencial 43 Equações do movimento coordenadas normal e tangencial No subtópico anterior estudamos sobre a equação do movimento em coordenadas cartesianas Você pode se perguntar Porque estudar as equações do movimento em coordenadas normal e tangencial Para analisar a resposta considere esse tipo de coordenada sendo utilizado para o movimento que ocorre ao longo de uma trajetória curva uma vez que em coordenadas cartesianas um ponto material está se movendo em relação a um sistema de referência inercial x y z Por isso agora vamos entender melhor esse tema Caso um ponto material se dirija ao longo de um circuito curvo conhecido a equação de movimento desse ponto pode ser reportada nas direções tangencial normal e binormal Nesse caso dispomos dessa equação F ma Ft ut Fn un Fb ub mat man Nessa equação Ft Fn e Fb consistem nas somas dos elementos de todas as forças que atuam no ponto material nas direções tangencial normal e binormal nessa ordem conforme imagem abaixo Referencial inercial Figura 8 Forças que atuam no ponto material Fonte Elaborado pelo autor 2020 Vejamos que não há movimento do ponto material na direção binormal pois o movimento se delimita a rota Assim essa equação é completada dessa forma Ft mat Fn man Fb 0 Recordamos que at dvdt forma a taxa temporal de transformação da velocidade escalar módulo da velocidade Consequentemente se 2F atua no sentido do movimento a velocidade escalar agrega e caso proceda no sentido reverso a velocidade escalar diminui Da mesma forma an v2ρ representa a taxa temporal de variação da direção da velocidade Estando o vetor an sempre voltado para o centro de curvatura da trajetória então Fn que causa essa aceleração também tem esse sentido Como exemplo caso o movimento do ponto material seja reservado a um caminho circular com velocidade escalar constante há uma força normal causada pela ressalva a fim de trocar a direção da velocidade mas não seu módulo Por ser sempre tendente para o centro dp circuito circular essa força é chamada força centrípeta Hibbeler 2011 44 Princípio do trabalho e energia para um sistema de pontos materiais No tópico anterior estudamos sobre o princípio de trabalho e energia para um ponto material Vamos estender nosso estudo considerando um sistema de n pontos materiais O princípio do trabalho e energia pode ser acrescido para um modelo de n pontos materiais encerrado numa região do espaço como amostrado na Imagem a seguir Referêncial inercial Figura 9 Modelo de n pontos materiais Fonte Elaborado pelo autor 2020 Com relação à imagem o iésimo ponto material tem massa mi e está subordinado às forças externas de resultante Fi estando ainda subordinado às forças internas que se necessitam aos demais pontos materiais do sistema da qual resultante simbolizamos agora por fi Usandose a Equação Fids 12 m v22 12 m v12 que se atribui à direção tangencial o princípio do trabalho e energia empenhado ao iésimo ponto material se registra da seguinte forma 12 miv12 si1si2 Fi t ds si2si1 fi t ds 12 miv22 É importante entender que adquirimos equações similares caso seja imposto o princípio do trabalho e energia aos demais pontos materiais do modelo Como trabalho e energia são escalares as conclusões podem ser somadas algebricamente de forma que a equação 12 miv12 si1si2 Fit ds si2si1 fi t ds 12 miv22 é capaz de ser transcrita metaforicamente como T1 U12 T2 Essa equação estabelece que a soma da energia cinética inicial T1 com o trabalho realizado por todas as forças internas e externas agindo em todos os pontos do sistema U12 é igual à energia cinética final T2 do sistema Hibbeler 2011 Para prosseguir esse balanço de energia é fundamental que seja estabelecido um rastreamento muito conciso do trabalho satisfeito por todas as forças Dessa forma vejamos que apesar das forças internas surgirem aos pares de forças distintas que reciprocamente anulam seus trabalhos as mesmas não se anulam pois as trajetórias dos pontos materiais conforme os quais operam essas forças são desiguais Entretanto existem duas restrições essenciais Se os pontos materiais formam um corpo rígido em movimento de translação então os trabalhos dos pares de forças internas se cancelam pois todas as forças sofrem o mesmo deslocamento Por outro lado observemos que se o corpo não é rígido os pontos materiais deslocam se ao longo de trajetórias diferentes e uma parte da energia que se deve às forças de interação se perde como calor 45 Potência e rendimento No subtópico anterior estudamos sobre trabalho e energia tanto para um ponto material como para n pontos materiais Você pode se perguntar Qual é a relação existente entre trabalho e energia com potencia e rendimento Para analisar essa resposta entenda que o rendimento das máquinas térmicas pode ser de uma maneira geral a razão entre o trabalho total e o trabalho ou calor necessário para que ela funcione Ou seja é o que se obtém pelo que se dá de trabalho Logo podemos dizer que rendimento e potência têm relação com trabalho e energia A partir de agora vamos entender potência e rendimento Estabelecese potência como correspondente ao trabalho na porção de tempo No caso de um corpo sujeito à ação de uma força F e movendose com uma velocidade v a potência foi expressa como segue Potência dUdt F v 115 No caso de um corpo rígido girando com uma velocidade angular w e sob a ação de um binário de momento M paralelo ao eixo de rotação temos Potência dUdt Mdθdt Mω 116 Em se tratando da unidade utilizada para medir a potência o watt foi definido Rendimento é A razão entre a potência útil de saída produzida pela máquina e a potência de entrada que lhe é fornecida são definidas como o rendimento mecânico de uma máquina Observe a representação abaixo ε potência de saida potência de entrada O rendimento pode ser expresso em termos da razão entre a energia de saída e a de entrada se o fornecimento de energia à máquina ocorre durante o mesmo intervalo de tempo em que se dá a sua remoção Portanto ε energia de saida energia de entrada Consequentemente o rendimento de uma máquina é sempre menor do que 1 já que sempre haverá desenvolvimento de forças de atrito numa máquina o que torna necessário o uso de energia ou potência extra para vencer as dissipaçōes que se devem a essas forças 46 Forças conservativas No subtópico anterior estudamos sobre trabalho de uma força Você pode se perguntar Qual é a relação existente entre trabalho de uma força com forças conservativas Para obter a resposta entenda que quando o trabalho realizado por uma força sobre um ponto material que se move de um ponto a outro independente da trajetória seguida pelo ponto material dizse que a força é conservativa A partir disso podemos verificar a relação existente entre os assuntos Para começar interaja com os botões abaixo para ver um exemplo de força conservativa e força não conservativa Força conservativa Pense como molde na prática o peso de um ponto material e a força de uma mola elástica sendo duas referências de forças conservativas esbarradas com frequência na mecânica O trabalho realizado pelo peso de um ponto material é independente da trajetória pois depende apenas do deslocamento vertical do ponto O trabalho consumado por uma mola agente num ponto material é isento da trajetória pois necessita meramente da deformidade s da mola Força não conservativa Em contraposição com uma força conservativa vejamos a força de atrito empregada por uma superfície fixa sobre um objeto em escorregamento O trabalho da força de atrito depende da trajetória Assim quanto mais extensa a trajetória maior é o trabalho Quando o trabalho é dissipado na forma de calor a força é dita como não conservativa 47 Energia potencial A energia potencial é uma medida da quantidade de trabalho realizado por uma força conservativa quando ela move seu ponto de aplicação de uma determinada posição até a referência Essa energia pode ser definida como a capacidade de se realizar trabalho A energia associada à posição de um ponto material medida em relação a uma linha ou plano de referência fixo é chamada de energia potencial Já a energia proveniente do movimento de um ponto material é denominada energia cinética Assim em mecânica são importantes as energias potenciais devidas à gravidade peso e a uma mola elástica 48 Energia potencial gravitacional Se um ponto material se dispõe a uma longitude y acima de uma referência marcada aleatoriamente como amostrado na imagem baixo podese agregar ao ponto uma energia potencial gravitacional Vg uma vez que o seu peso W tem a faculdade de elaborar um trabalho positivo caso o ponto retorne à linha de referência Figura 10 Ponto material disposto a uma longitude y Fonte Elaborado pelo autor 2020 Analogamente se o ponto material se localiza a uma longitude y abaixo da linha de referência Vg é negativo pois o peso realiza trabalho negativo quando o ponto retorna à referência Na linha de referência Vg 0 Em geral se y é positivo para cima a energia potencial gravitacional do ponto material de peso W é Vg Wy 49 Energia potencial elástica Caso uma mola elástica comporte uma deformidade s alongamento ou encolhimento condicional ao comprimento da mola não deformada a energia potencial elástica Ve referida a essa deformação pode ser indicada como Ve 12 ks2 Na configuração de mola deformada a força elástica tem a capacidade de sempre realizar trabalho positivo sobre o ponto material quando a mola retorna ao seu estado de mola não deformada Nesse caso Ve é sempre positivo conforme imagem abaixo Energia potencial elástica Figura 11 Mola deformada Fonte Elaborado pelo autor 2020 410 Função potencial energia potencial do ponto pode ser evidenciada como uma função potencial se o ponto material está subordinado coincidentemente às forças gravitacionais e elásticas correspondendo a seguinte a soma algébrica V Vg Ve A medida de V necessita da localização do ponto material em analogia às normas escolhidas de consenso com as equações Vg Wy e Ve 12 ks2 Se o ponto material se situa num ponto x y z do espaço a função potencial é V Vxyz O trabalho realizado por uma força conservativa que desloca seu ponto de aplicação da posição x1 y1 z1 à posição x2 y2 e z2 é avaliado pela disparidade da função potencial de forma que U12V1 V2 411 Conservação de energia No subtópico anterior estudamos sobre forças conservativas Você pode se perguntar Qual é a relação existente entre forças conservativas com a conservação de energia Em resposta a essa pergunta é importante considerar que quando um ponto material é submetido simultaneamente às forças conservativas e não conservativas a parcela do trabalho realizada pelas forças conservativas pode ser escrita em termos das diferenças das respectivas energias potenciais Dessa forma estabelecese uma relação entre a energia potencial e as forças conservativas e como consequência na implicação do princípio de conservação de energia Agora vamos entender conservação de energia Usandose a Equação U12V1 V2 isto é Uconst V1 V2 temos como resultado o princípio do trabalho e da energia podendo ser representado por meio da seguinte redação T1 V1 U12não const T2 V2 Nessa equação U não cons forma o trabalho das forças não conservativas atuando no ponto material Se apenas forças conservativas atuam no ponto material a última Equação acima se restringe à equação abaixo T1 V1 T2 V2 Essa equação informa a conservação da energia mecânica ou para descomplicar conservação da energia ao instalar enquanto que no movimento a soma das energias cinética e potencial segue constante Para isso a energia cinética deve ser reduzida em potencial e viceversa Como exemplo se dispomos cair uma bola de peso W de uma altura h acima do solo tomado como referência como expresso na imagem abaixo a energia potencial da bola é máxima na posição inicial Energia potencial máx Energia cinética zero Energia potencial e energia cinética Energia potencial zero Energia cinética máx Figura 12 Bola de peso Fonte Elaborado pelo autor 2020 Nessa posição inicial imagem a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial conforme equação abaixo E T1 V1 0 Wh Wh Quando a bola cai de uma distância h2 sua velocidade pode ser determinada por v v 2ac y y0 o que nos fornece v 2g h2 gh A energia da bola na posição de meia altura é portanto E T2 V2 12 Wg gh2 W h2 Wh No minuto em que a bola conquista o solo sua energia potencial é nula e sua velocidade é v 2 2gh Mais uma vez a energia mecânica da bola é descrita como E T3 V3 12 Wg 2gh2 0 Wh Analisemos que caso a bola principal entre em contato com o solo ela pode se deformar E observando que o solo seja bem duro a bola até que enfim é rebatida conquistando uma nova altura h que será menor do que a altura inicial h A diferença de alturas contabiliza a perda de energia ocorrida durante a colisão com o solo desprezando o atrito om o ar Eperda Wh h h Elementos dessa energia representam o ruído ou seja as modificações localizadas da bola e do solo e ao calor 412 Sistema de pontos materiais Se um modelo de pontos materiais está obrigado somente às forças conservativas logo uma equação similar à última subtópico anterior é escrita para o modelo Aplicando as ideias da discussão precedente a equação T1 U12 T2 se torna T1 V1 T2 V2 Nessa equação a soma das energias cinéticas e potenciais finais do sistema é igual à soma das energias cinéticas e potenciais iniciais do sistema Hibbeler 2011 É fundamental comunicar que apenas questões que demandam forças conservativas pesos e molas por exemplo podem ser determinadas pelo teorema da conservação da energia Como explorado primariamente forças de atrito ou forças de arrasto inerentes da velocidade ou aceleração são não conservativas A parcela do trabalho consumado por essas forças é reduzida em energia térmica e consequentemente essa energia se dissipa pelas proximidades e não pode ser recuperada