Classificação de Estruturas e Grau de Indeterminação Estática - Prova I e II

Capítulo 1 Grau de Indeterminação Estática 11 Prova I 022017 1 Para as estruturas abaixo pedese para classificálas quanto ao equilíbrio estático e quando for o caso indicar o grau de indeterminação estática aVínculos V Vínculos externos 3 provenientes dos apoios Vínculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das 3 rótulas cada uma entre duas barras 6V 6GL 0 Estrutura isostática 12 Questão 11a bVínculos V Vínculos externo 9 provenientes dos apoios Vínculos internos 3 provenientes do quadro fechado Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 12V 3GL 9 Estrutura hiperestática 12 Questão 11b cVínculos V Vínculos externos 3 provenientes dos apoios Vínculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rótulas cada uma entre duas barras 3V 5GL 2 Estrutura hipostática 12 Prova I 012018 2 Para as estruturas abaixo pedese para classificálas quanto ao equilíbrio estático e quando for o caso indique o grau de indeterminação estática aVínculos V Vínculos externos 4 provenientes dos apoios Vínculos internos 6 provenientes dos 2 quadros fechados Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 3 provenientes das três rótulas cada uma entre duas barras 10V 6GL 4 Estrutura hiperestática grau 4 14 Questão 12a bVínculos V Vínculos externos 4 provenientes dos apoios Vínculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 provenientes da rótula entre duas barras 4V 4GL 0 Estrutura isostática 15 Questão 12b cVínculos V Vínculos externos 4 provenientes dos apoios Vínculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 2 provenientes das duas rótulas cada uma entre duas barras 4V 5GL 1 Estrutura hipostática 16 Questão 12c 13 Prova II 012018 3 Para as estruturas abaixo pedese para classificálas quanto ao equilíbrio estático e quando for o caso indique o grau de indeterminação estática aCaso crítico apoios alinhados Estrutura hipostática 17 Questão 13a bTreliça bidimensional d2 Número de reações de apoio r 3 Número de barras b 33 Número de nós n 18 b r 33 3 36 n d 18 2 36 b r n d Estrutura Isostática 18 Questão 13b cTreliça bidimensional d2 Número de reações de apoio r 4 Número de barras b 9 Número de nós n 6 b r 9 4 13 b r n d Estrutura Hiperestática grau 1 19 Questão 13c 14 Prova I 022018 4 Para as estruturas abaixo pedese para classificálas quanto ao equilíbrio estático e quando for o caso indicar o grau de indeterminação estática aCaso Crítico apoios alinhados Estrutura hipostática bVínculos V Vínculos externos 4 provenientes dos apoios Vínculos internos 0 Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 1 proveniente da rótula entre duas barras AV 4GL 0 Estrutura isostática cVínculos V Vínculos externos 7 provenientes dos apoios Vínculos internos 18 provenientes dos 6 quadros fechados Graus de Liberdade GL Graus de liberdade externos 3 Graus de liberdade internos 0 25V 3GL 22 Estrutura hiperestática grau 22 aTreliça bidimensional d2 Número de reações de apoio r 4 Número de barras b 25 Número de nós n 14 b r 25 4 29 b r n d n d 14 2 28 Estrutura hiperestática grau 1 bTreliça bidimensional d2 Número de reações de apoio r 3 Número de barras b 12 Número de nós n 8 b r 12 3 15 n d 8 2 16 b r n d Estrutura Hipostática cTreliça bidimensional d2 Número de reações de apoio r 3 Número de barras b 14 Número de nós n 8 b r 14 3 17 n d 8 2 16 b r n d Estrutura hiperestática grau 1 1 Para a viga indicada na Figura 21 pedese a As reações de apoio b Os diagramas dos esforços solicitantes c As equações dos esforços solicitantes a Reações de apoio Fx 0 HA 0 Mz A 0 45 40 5 5 5 5 2 RB 4 0 RB 140 kN Fy 0 60 40 5 5 RA 140 0 RA 140 kN b Diagramas de esforços solicitantes Equações Cortante x 4 m Vx 140 60 40x Vx 80 40x kN Reações no apoio C MzC 0 20 108 40 84 80 6 20 6 3 MC 0 MC 0 Fy 0 20 40 80 20 6 RC 0 RC 60 kN 24 m x 48 m Mx 20x 40x 24 40 2 Mx 20x 96 kNm Os demais elementos seguem raciocínio análogo resultando nos esforços a seguir A inspeção de todos os elementos da Figura 29 juntamente com as reações de apoio fornecidas na lista Reactions on Inelastic Supports referentes ao sistema global de coordenadas permite verificar o equilíbrio da estrutura Diagrama de corte e momento de flexão de todos elementos Capítulo 3 Pórticos 31 Prova I 012018 1 Para o pórtico da Figura 31 pedese a As reações de apoio b Abrindo o quadro fechado na rótula H calcular os esforços nesta seção c Sem utilizar o equilíbrio de barras e nós determinar os esforços solicitantes na seção transversal S da barra CE indicando a natureza dos mesmos normal compressão ou tração cortante positiva ou negativa momento tracionando ou comprimindo o lado interno do quadro d O equilíbrio de barras e nós e Os diagramas de esforços das barras EG e CD a O cálculo das reações pode ser iniciado em diversos pontos Neste exemplo será considerado o somatório de momentos no nó C conforme mostra o diagrama de corpo livre DCL ao lado Na sequência é possível determinar os valores das reações através das equações de equilíbrio MzAC 0 3HA 20 3 32 0 HA 30 kN FxC 0 20 3 50 HA HB 0 HB 80 kN MzB 0 5RA 20 3 32 40 60 3 50 30 5 52 0 RA RB 30 5 0 RA RB 30 5 0 RA RB 150 0 RA 47 kN b Observando o DCL da Figura 33 podese notar que a rótula H já foi substituída por esforços de acordo com a sugestão do exercício Para descobrir os esforços em VH e NH serão utilizadas as equações de equilíbrio das rótulas C e F MzHGF 0 25NH 15VH 30 25 25 0 MzC 0 50NH 15VH 30 5 52 60 0 2 5NH 1 5VH 93 75 5 0NH 1 5VH 315 NH 54 5 kN e VH 28 33 kN 31 c Obtidos os valores de VH e NH é possível encontrar os esforços na seção S Neste exercício a dica é pegar os valores em H e leválos até S descontando ou adicionando os carregamentos externos de acordo com o sentido deles Na Figura 34 VS NS e MS foram arbitrados no sentido positivo para os esforços em S Fx 0 2833 VS 0 VS 2833 kN Fy 0 545 30 5 NS 0 NS 955 kN MzS 0 545 5 2833 05 30 5 52 60 MS 0 MS 2833 kNm Diagramas das barras EG e CD Prova I 022017 Prova I 022017 Figura 312 Questão 33a Nós elementos e sistemas de eixos locais Por conveniência os eixos locais são indicados na metade de cada elemento Figura 313 Questão 33a Apoios e rótulas Figura 315 Questão 33b Momento fletor 225 kN 119375 kN 45 kNm Faz er o desenho da barra indicando os carregamentos esforços de extremidade e sistema de eixos local Reações nos Apoios Inelásticos Para a representação da barra 12 devem ser seguidos os mesmos passos da Questão 33 Dessa forma obtémse o desenho completo mostrado na Figura 324 Prova I 022018 a A decomposição do pórtico em estruturas isostáticas é feita através da inspeção das rótulas do modelo Após analisar a adequada separação das rótulas devese verificar qual barra precisa receber apoios fictícios resultantes da separação da estrutura Neste caso ressaltase que a rótula localizada em D é excêntrica ou seja a barra CD tem liberdade de giro em relação ao conjunto ADB Separando a barra CD do trecho ADB observase que o trecho DCB tornase isostático com a adição de um apoio fictício fixo em D mantendose a rótula em C Em seguida verificase que o trecho ADB é isostático sem a adição de nenhum apoio Cabe ressaltar que o apoio em B no qual concorrem duas barras continua presente tanto no trecho DCB quanto no trecho ADB A decomposição e o processo de cálculo das reações de apoio são ilustrados na Figura 327 O cálculo das reações deve ser iniciado na estrutura I na qual são obtidas as reações em D e B Na sequência as reações em D e B são transferidas com sentidos contrários para a estrutura II Finalmente são calculadas as reações em A e B na estrutura II b Observando o trecho DBC na Figura 328 podese notar que a rótula D já foi substituída por esforços na extremidade da barra DC Os esforços VD e ND serão calculados através das equações de momento nullo nas rótulas C e B MzDCC 0 20 3 1 5 40 1 5 VD 3 0 VD 50 kN MzDCB 0 ND 4 40 1 5 20 3 1 5 30 4 2 0 ND 22 5 kN c Obtidos os valores de VD e ND é possível encontrar os esforços na seção S A estratégia mais simples consiste em partir do apoio A e levar todos os esforços até S fazendo o caminho ADS conforme indicado na Figura 329 Fy 0 45 22 5 VS 0 VS 22 5 kN Fx 0 20 3 50 NS 0 NS 110 kN MzS 0 45 2 20 3 1 5 22 5 2 MS 0 MS 45 kNm A correta representação dos esforços em S é ilustrada na Figura X NS 110 kN compressão VS 22 5 kN positiva MS 45 kNm traciona o lado de referência d Equilíbrio de barras e nós Figura 335 Questão 36a b O processo de solução é iniciado na estrutura I na qual são calculadas as reações nos apoios C e D Em seguida resolvese a estrutura II que recebe as reações do apoio D calculadas na estrutura I Na sequência calculase as reações nos apoios A e C Finalmente a solução é encerrada na estrutura III Neste caso as reações do apoio C calculadas nas estruturas I e II são somadas e transferidas para a estrutura III Além disso as reações do apoio A da estrutura II também são transferidas para essa estrutura Finalmente calculamse as reações nos apoios A e B Capítulo 4 Arcos 41 Prova II 012018 1 Para o arco apresentado na Figura 43 cuja geometria é dada pela Equação 41 pedese o cálculo dos esforços solicitantes na seção S momento fletor cortante e normal indicando os sinais de acordo com a convenção Para o momento fletor considerar como referência o lado interno do arco y frac425x2 frac85x 41 A solução se inicia com o cálculo das reações de apoio VA VB frac20 imes 82 80 kN sum MzBC 0 rightarrow 80 imes 2 20 imes 1 imes 05 HB imes 16 0 herefore HB 9375 kN sum Fx 0 rightarrow HA 9375 kN Na sequência é feito o equilíbrio na seção S conforme mostra a Figura 42 Figura 333 Questão 35 e Barra CB 36 Prova II 012018 6 Para a estrutura da Figura 334 pedese a Decomposição em estruturas isostáticas o mais simples possível b Descrever o processo de solução a partir de decomposição indicando a sequência e os esforços transferidos a A decomposição do pórtico em estruturas isostáticas é feita através da inspeção das rótulas do modelo e adição de apoios fictícios conforme apresentado nas Questões 33 e 35 Para o presente exemplo obtémse a seguinte decomposição Os valores de sen α e cos α são obtidos através da equação do arco tg α dy dx 0 2x 1 tg αx2 0 22 1 0 6 senα 0 514 cosα 0 857 Os esforços são obtidos a partir do equilíbrio da seção S conforme mostra a Figura 44 Os valores de sen α e cos α são obtidos através da equação do arco tg α 8 25 x 8 5 tg αx3 0 64 senα 0 539 cosα 0 842 Capítulo 5 Grelhas 51 Prova II 012018 1 Para a grelha apresentada na Figura 51 pedese a As reações de apoio b O equilíbrio de barras e nós c Os diagramas de esforços solicitantes de todas as barras Figura 51 Questão 51 a Cálculo das reações de apoio MB 0 RA 4 15 5 2 80 4 12 0 RA 4550 kN MyC 0 RB 4 45 5 1 15 5 2 5 40 2 4 4 15 0 RB 305 kN Fz 0 RA RB RC 15 5 40 80 0 RC 130 kN b Equilíbrio de barras e nós 1Lorena Leocádio 37 Figura 52 Questão 51b c Diagrama de todas as barras Figura 53 Questão 51c 52 Prova II 022018 2 Para a grelha apresentada na Figura 54 pedese a As reações de apoio b O equilíbrio de barras e nós c Os diagrama de esforços solicitantes de todas as barras Dados cosθ 0 8 senθ 0 6 2Lorena Leocádio 39 a Cálculo das reações de apoio MxA 0 80 5 15 4 5 40 25 10 08 RC 5 4 8 0 RC 800 kN MyA 0 80 2 15 4 4 40 4 10 06 RB 8 8 6 0 RB 2475 kN Fz 0 8 2475 40 15 4 RA 0 RA 1275 kN b Equilíbrio de barras e nós Figura 55 Questão 52b 40