Definição e Cálculo de Integrais Triplas

Integral Tripla Assim como definimos integrais unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis Inicialmente trataremos o caso mais simples quando f é definida em uma caixa retangular B x y z a x b c y d r z s O primeiro passo é dividir B em subcaixas Fazemos isso dividindo o intervalo a b em l subintervalos xi1 xi de comprimentos iguais Δx dividindo c d em m subintervalos de comprimentos Δy e dividindo r s em n subintervalos de comprimento Δz Os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos paralelos aos planos coordenados subdividem a caixa B em lmn subcaixas Bijk xi1 xi yj1 yj zk1 zk Definição A integral tripla de f na caixa B é B fx y z dV lim l m n i1 l j1 m k1 n fx ijk y ijk z ijk ΔV se esse limite existir Assim formamos a soma tripla de Riemann i1 l j1 m k1 n fx ijk y ijk z ijk ΔV onde o ponto de amostragem x ijk y ijk z ijk está em Bijk Por analogia com a definição da integral dupla 1515 definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann em 2 Novamente a integral tripla sempre existe se f for contínua Escolhemos o ponto de amostragem como qualquer ponto de cada subcaixa mas se escolhermos o ponto x i y j z k obtemos uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla B fx y z dV lim l m n i1 l j1 m k1 n fx i y j z k ΔV Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Se f é contínua em uma caixa retangular B a b c d r s então B fx y z dV cd ab fx y z dx dy dz EXEMPLO 1 Calcule a integral tripla B xy z2 dV onde B é a caixa retangular dada por B x y z 0 x 1 1 y 2 0 z 3 SOLUÇÃO Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração Se escolhermos integrar primeiro em relação a x depois em relação a y e então em relação a z obtemos B xy z2 dV 03 02 01 xy z2 dx dy dz 03 02 yz22 dy dz 03 3z24 dz z34 03 274 Agora definiremos a integral tripla sobre uma região limitada geral E no espaço tridimensional um sólido pelo mesmo método usado para as integrais duplas 1532 Envolvemos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1 Em seguida definiremos uma função F de modo que ela coincida com f em E e seja 0 nos pontos de B fora de E Por definição E fx y z dV B Fx y z dV Essa integral existe se f for contínua e se o limite de E for razoavelmente liso A integral tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla Propriedades 69 da Seção 153 Vamos nos restringir às funções contínuas f e a certos tipos de regiões Uma região sólida E é dita do tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y ou seja E x y z x y D u1x y z u2x y E x y z x y D u1x y z u2x y Pelos mesmos argumentos que nos levaram à 1533 podemos mostrar que se E é uma região do tipo 1 dada pela Equação 5 então O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos fixos e assim u1x y e u2x y são vistas como constantes enquanto fx y z é integrada em relação a z E como trabalhar a região D E x y z a x b g1x y g2x u1x y z u2x y fx y z dV ab g2xg1x u2x yu1x y fx y z dz dy dx Se por outro lado D é uma região plana do tipo II como na Figura 4 então E x y z c y d h1y x h2y u1x y z u2x y fx y z dV cd h2yh1y u2x yu1x y fx y z dx dy Região do tipo 3 Regiões sólida e plana de tipos diferentes 17 EXEMPLO 2 Calcule E z dV onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x 0 y 0 z 0 e x y z 1 SOLUÇÃO Para escrevêlos a integral tripla é recomendável desenhar dois diagramas um da região sólida E veja a Figura 5 e outro da projeção D no plano xy veja a Figura 6 A fronteira inferior do tetraedro é o plano z 0 e a superior é o plano x y z 1 ou z 1 x y e então usamos u1x y 0 e u2x y 1 x y na Fórmula 7 Observe que os planos x y z 1 e z 0 se interceptam na reta x y 1 ou y 1 x no plano xy Logo a projeção de E é a região triangular da Figura 6 e temos Essa descrição de E como região do tipo 1 nos permite calcular a integral como segue E z dV 01 01x 01xy z dz dy dx 01 01x 1 x y² dy dx frac12 01 1 x³ dx frac16 01 1 x⁴ dx frac124 EXEMPLO 3 Calcule Ex² z² dV onde E é a região limitada pelo paraboloide y x² z² e pelo plano y 4 SOLUÇÃO O sólido E está mostrado na Figura 9 Se o olharmos como uma região do tipo 1 então precisaremos considerar sua projeção D₁ sobre o plano xy que é a região parabólica da Figura 10 O corte de y x² z² no plano z 0 é a parábola y x² De y x² z² obtemos z y x² e então a superfície limite de baixo de E é z y x² e a superfície de cima é z y x² Portanto a descrição de E como região do tipo 1 é E x y z 2 x 2 x² y 4 y x² z y x² e obtemos Ex² z² dV ₂² ₓ²⁴ x² z² dz dy dx Apesar de essa expressão estar correta é extremamente difícil calculála Então em vez disso vamos considerar E como uma região do tipo 3 Como tal sua projeção D₃ sobre o plano xz é o disco x² z² 4 mostrado na Figura 11 Então a superfície lateral esquerda de E é o paraboloide y x² z² e a superfície lateral direita é o plano y 4 Assim tomando u₁x z x² z² e u₂x z 4 na Equação 11 temos Ex² z² dV D₃ x² z² dA D₃ 4 x² z²x² z² dA Apesar de essa integral poder ser escrita como ₂² 4 x²4 x² 4 x²x² z² dz dx fica mais simples convertêla para coordenadas polares no plano xz x r cos θ z r sen θ Isso fornece Ex² z² dV D₃ 4 r²r² dA ₀²π ₀² 4 r²r dr dθ ₀²π dθ ₀² 4r² r⁴ dr Exemplo 4 Expresse a integral iterada ₀¹ ₀¹ ₀ᵞ fx y z dz dy dx como a integral tripla e então reescrevaa como uma integral iterada em uma ordem diferente integrando primeiro em relação a x então z e então y Solução Podemos escrever ₀¹ ₀¹ ₀ᵞ fx y z dz dy dx ₑ fx y z dV onde E x y z 0 x 1 0 y x² 0 z y Essa descrição de E nos permite escrever projeções sobre os três planos coordenados como a seguir sobre o plano xy D₁ x y 0 x 1 0 z x² x y 0 y 1 y x 1 sobre o plano yz D₂ x y 0 y 1 0 z y sobre o plano xz D₃ x y 0 x 1 0 y x² Aplicações de Integrais Triplas Bibliografia Stewart James Cálculo Vol 2 6ª Edição Editora Cengage Guidorizzi H L Um curso de cálculo Vols 2 e 3 6ª edição LTC