Equacoes Diferenciais-Conceitos Basicos e Solucoes

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas TipoUma equação diferencial pode ser ordináriaEDO ou parcial EDP Uma EDO é uma equação diferencial que envolve derivadas de uma função de uma variável independente Exemplos Uma EDP é uma equação diferencial que envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes Exemplo Obs Nosso estudo aquié focado em EDOs somente As EDOs possuem ordem e grau diferentes Ordem A ordem de uma equação diferencial é a da derivada de maior ordem que aparece na equação Grau O grau de uma equação diferencial é a potência da derivada de maior ordem que aparece na equação diferencial já racionalizada depois que os termos da derivada com potências fracionárias já foram removidos Notação Usase frequentemente os símbolos y y y y4 yn para representar as derivadas de ordem primeira segunda terceira quartanésima de y em relação à variável independente respectivamente Assim 2 2 2 2 2 2 d y d y d y y ou ou etc dx dt dp Observase o uso dos parênteses em yn para distinguir da potência yn INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA PROFESSORA MADELINE O S CORRÊA DISCIPLINA Cálculo II CONTEÚDO Equações DiferenciaisI NOME 2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Uma função y fx é uma solução de uma ED se a equação é satisfeita quando y e suas derivadas são substituídas na equação Neste contexto qualquer y fx definida em algum intervalo I que quando substituída na ED reduz a equação a uma identidade é chamada de solução para a ED Exemplo em aula Tipos de soluções Solução geral é a solução da ED que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação Assim se a ED é de ordem 1 a solução geral terá uma constante arbitrária se for de ordem 2 deverá conter duas constantes arbitrárias e assim sucessivamente Solução particular é a solução da ED deduzida da solução geral atribuindose valores particulares às constantes arbitrárias Problema do valor inicial PVI É uma solução particular que satisfaz uma condição inicial da forma 0 0 y x y Solução singular é a solução da ED que não pode ser obtida da solução geral Obs Quando as condições em relação à solução particular são dadas em diferentes pontos do domínio x0 e x1 dizemos que é um problema de valores de contorno e não um problema de valor inicial 3 E DOs DE 1ª ORDEM TIPOS As equações diferenciais de primeira ordem e do primeiro grau são classificadas como separáveis exatas lineares e homogêneas Uma equação diferencial de primeira ordem e do primeiro grau pode ser escrita na forma dy dx F x y denominada forma normal Por sua vez F x y pode ser escrita como um quociente de outras duas funções M x y e N x y de onde deriva a forma diferencial 0 M x y dx N x y dy EDOs SEPARÁVEIS Definição Se o lado direito da equação dy dx F x y puder ser expresso como uma função gx que depende apenas de x multiplicada por uma função py que depende somente de y então a equação é chamada separável Em outras palavras uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma dy g x p y dx Exemplo Resolver a equação 2 5 dy x dx y EDOs HOMOGÊNEAS Uma equação diferencial da forma 0 N x y dy M x y dx é homogênea se e M x y N x y são funções homogêneas do mesmo grau em x e y Definição Uma função F x y é dita homogênea de grau n em x e y se e somente se n F kx ky k F x y onde k é uma constante qualquer Quando uma equação diferencial é homogênea suas variáveis podem ser separadas pela substituição y vx dy vdx xdv A equação diferencial resultante pode então ser escrita na forma 0 M x dx N v dv e resolvida como uma ED separável Assim a solução geral da equação original é obtida substituindose y v x na solução da equação diferencial separável 4 Exemplo Linearidade A EDO pode ser linear ou não linear Ela é chamada linear quando pode ser escrita na forma 1 1 1 0 1 n n n n n n d y d y dy b x b x b x b x y g x dx dx dx As EDOs lineares são caracterizadas por duas propriedades 1 A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau isto é a potência de cada termo envolvendo y é 1 2 As funções 01 e b x j n g x j supõemse conhecidas e dependem apenas da variável independente x Se não puder ser escrita nesta forma a EDO é não linear EDOs LINEARES de 1ª ordem Uma EDO linear de primeira ordem é uma equação que pode ser expressa na forma 1 0 b x dy b x y g x dx onde 1 b x b0 x g x são funções apenas da variável independente x b0x0 Para resolver esse tipo de EDO devemos dividir toda a equação por b1x e colocála na forma padrão dy P x y Q x dx É necessário ainda calcular o fator integrante dado por e P x dx x Então a solução geral da ED será dada por c dx Q x e ye P x dx P x dx Exemplo Resolver a equação 2 2 2 2 0 x dy y xy x dx 5 Equações de Bernoulli Uma equação nãolinear bem conhecida que pode ser transformada em uma equação linear através de uma substituição apropriada é a equação de Bernoulli assim chamada em homenagem a Jakob Bernoulli 16541705 n y P x y Q x y Supondo n 0 e n 1 a solução geral da equação de Bernoulli é c dx n Q x e e y n P x dx n P x dx n 1 1 1 1 Exemplo Resolva a equação 3 2 y xe xy y x EDOs EXATAS As equações exatas são equações que podem ser escritas na forma 0 N x y dy M x y dx em que as funções M x y e N x y satisfazem x x y N y x y M em um retângulo R em que M x y N x y M x y N x y y x são funções contínuas Se essa condição for satisfeita então existe uma função F x y tal que e F x y F x y M x y N x y x y e a solução geral da ED exata é dada implicitamente por F x y C Considerando que a ED é exata então F x y M x y x Vamos integrar esta equação em relação à x substituindo a constante usual de integração por uma função fy de y Assim obtemos F x y M x y dx G x y f y Depois é necessário derivar F x y G x y f y em relação a y e igualar a N x y obtendo G x y f y N x y y Por último isolar fy e integrar a equação em relação a y para obter fy A solução é dada substituindo fy em e igualando a uma constante C ou seja F x y G x y f y C Exemplo Resolva a equação 3 3 3 2 2 1 2 y x y x y dx dy x x 6 FATORES INTEGRANTES ESPECIAIS DEFINIÇÃO Se a equação 0 N x y dy M x y dx não for exata mas a equação 0 x y M x y dx x y N x y dy que resulta da multiplicação da equação anterior pela função x y for exata então x y é chamado de fator integrante da equação 0 N x y dy M x y dx Método para encontrar fatores integrantes especiais Considere M N y x N Se é uma função apenas da variável x então um fator integrante é dado pela fórmula M N y x dx N x e Se não for uma função apenas de x considere N M x y M Se é uma função apenas da variável y então um fator integrante é dado pela fórmula N M x y dy M y e Exemplo 1 Resolver a equação 2 2 2 0 x y dx x y x dy Exemplo 2 Resolver a equação 2 2 2 3 20 0 xydx x y dy