Equações Diferenciais de Ordem N - Resumo Teórico e Exemplos

Cálculo II Engenharia de Telecomunicações ANP Equações Diferenciais Ordem n Aula I Já sabemos que uma EDO pode ser linear ou não linear e que ela é chamada linear quando pode ser escrita na forma 1 1 1 0 1 n n n n n n d y d y dy b x b x b x b x y g x dx dx dx Lembrando que 1 A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau isto é a potência de cada termo envolvendo y é 1 2 As funções 01 e bj x j n g x supõemse conhecidas e dependem apenas da variável independente x ou são constantes Se não puder ser escrita nesta forma a EDO é não linear EDOs Lineares Homogêneas Se a equação é dita equação diferencial homogênea de ordem n que nada tem haver com a classificação das homogêneas de 1ª ordem g x 0 EDOs Lineares de 2ª ordem Homogêneas com coeficientes constantes Tem a forma 2 2 0 constantes d y dy a b cy a b c dx dx E apresentam como solução funções que envolvem exponenciais de base e Como Resolver 1 Determinamos a Equação Característica a partir da Equação diferencial A Equação Característica é uma equação polinomial do 2º grau na variável λ lâmbida cujos coeficientes são os mesmos da Equação Diferencial 2 Resolvemos a equação do 2º grau e de acordo com o tipo de solução duas distintas reais única real ou complexas conjugadas determinamos a solução da EDO Raízes reais distintas Então a solução geral é dada por Raízes reais iguais λ Então a solução geral é dada por Raízes complexas conjugadas Então a solução geral é dada por 1 e 2 1 2 1 2 x x y c e c e 1 2 x x y c e c xe 1 2 a bi e a bi cos s ax y e A bx B en bx Exemplo Determinar a solução geral das EDs 5 6 0 y y y y 10y 25y 0 y 2y 2y 0 EDOs homogêneas com coeficientes constantes de ordem n n2 Nesse caso a equação característica será uma equação polinomial de grau maior que 2 e a solução da ED dependerá igualmente da solução da equação característica no entanto a solução da ED será uma combinação linear dos tipos de soluções apresentadas para as EDOs de ordem 2 a depender do tipo de solução que apresentará a equação característica Exemplo Resolver a Equação diferencial y4 49y 0