Cálculo II FATEC - Trabalho 3 - Funções de Duas Variáveis e Aplicações da Diferenciação

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO II Prof Dr HENRIQUE FURIA SILVA TRABALHO 3 10052023 MCA019 CÁLCULO 2 MANUTENÇÃO INDUSTRIAL 1 Função de duas variáveis Considere a seguinte função real de duas variáveis reais xy 𝑔𝑥𝑦 𝑥2 4 𝑦2 2 Pedese a Determinar o domínio da função b Construir o gráfico usando software de computador c Escrever a equação da curva de nível para o nível c 2 d Esboçar a curva de nível para o nível c 2 2 Aplicações da diferenciação Considere o ponto 𝑥0 𝑦0 21 do plano cartesiano o vetor 𝑣 512 e a seguinte função 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 18 3 𝑥5 𝑦4 5 𝑥2 𝑦3𝑥2 𝑦2 Pedese a Construa o gráfico usando software de computador b Utilize coordenadas polares para calcular o limite da função para 𝑥 𝑦 0 0 c Determine as derivadas parciais da função e suas imagens no ponto 𝑥0 𝑦0 d Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da curva no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 e Determine o vetor gradiente no ponto 𝑥0 𝑦0 f Calcule a derivada direcional 𝑓𝑣 no ponto 𝑥0 𝑦0 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 1 Questão 1 1 Função de duas variáveis Considere a seguinte função real de duas variáveis reais 𝑥 𝑦 𝑔𝑥 𝑦 𝑥2 4 𝑦2 2 Pedese a Determinar o domínio da função b Construir o gráfico usando software de computador c Escrever a equação da curva de nível para o nível c 2 d Esboçar a curva de nível para o nível c 2 11 Solução da questão 1 111 Solução da questão 1 a O domínio da função é o conjunto de pontos onde a função fica bem definida Nesse sentido para a função 𝑔𝑥 𝑦 nós temos que o domínio dessa função deve ser tal que o argumento da raiz seja não negativa ou seja 𝑥2 4𝑦2 2 0 𝑥34 𝑦21 24 12 Logo o domínio da função é o conjunto 𝐷 dado por 𝐷 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥34 𝑦21 12 ou seja é a região do plano que contém tanto a borda quanto a parte fora da Elipse 𝑥34 𝑦21 12 112 Solução da questão 1 b O gráfico pedido é o seguinte 113 Solução da questão 1 c A curva de nível para 𝑐 2 é obtida fazendo 𝑔𝑥 𝑦 𝑐 2 Com efeito isso nos dá que 2 𝑥2 4 𝑦2 2 𝑥2 4𝑦2 2 4 𝑥2 4𝑦2 6 Logo as curvas de nível são as elipses com a seguinte equação 𝑥24 𝑦21 32 114 Solução da questão 1 d O gráfico pedido é o seguinte 2 Questão 2 Aplicações da diferenciação Considere o ponto x0y021 do plano cartesiano o vetor v1512 e a seguinte função xyfxy183x5y45x2y3x2y2 Pedese a Construa o gráfico usando software de computador b Utilize coordenadas polares para calcular o limite da função para xy00 c Determine as derivadas parciais da função e suas imagens no ponto x0y0 d Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da curva no ponto x0y0fx0y0 e Determine o vetor gradiente no ponto x0y0 f Calcule a derivada direcional ffv no ponto x0y0 21 Solução da questão 2 211 Solução da questão 2 a O gráfico da função pedida é o seguinte 212 Solução da questão 2 b Consideremos coordenadas polares que são xr costyr sint De posse disso nós temos que fxyfr costr sint183r5 cos5tr4 sin4t5r2 cos2tr3 sin3tr2 cos2tr2 sint 183r9 cos5tsin4t5r5 cos2tsin3tr2 183r7 cos5tsin4t7r3 cos2tsin3t 18cos3tsin3t3r7 cos3tsint7r3 Com isso segue que o limite pedido pode ser calculado da seguinte forma limxy00fxylimr0fr costr sint limr018cos3tsin3t3r7 cos3tsint7r3 18cos3tsin3tlimr03r7 cos3tsint7limr0r3 0 Portanto obtemos que limxy00fxy0 213 Solução da questão 2 c Vamos calcular as derivadas pedidas Com efeito vamos ter que ffxx183x5y45x2y3x2y2 18x2y215x4y410xy32x3x5y47x2y3x2y22 9x6y415x4y610xy58x2y22 Por outro lado em relação a variável y nós temos que ffyy183x5y45x2y3x2y2 18x2y212x5y315x2y22y3x5y45x2y3x2y22 12x7y36x5y515x4y25x2y48x2y22 E assim as derivadas parciais pedidas são ffx9x6y415x4y610xy58x2y22 ffy12x7y36x5y515x4y25x2y48x2y22 Agora vamos determinar as imagens das derivadas no ponto x0y012 nós temos que as derivadas são tais que ffxx0y0219x6y415x4y610xy58x2y22x0y021 198261524102825 796200398 E ffyx0y02112x7y36x5y515x4y25x2y48x2y22x0y021 1812127625251524252225 1468200734 214 Solução da questão 2 d Vamos calcular primeiro fx0y0 que é fx0y0f2132552240191019 De posse disso vamos determinar a equação do plano tangente da curva zfxy Com efeito essa equação é dada por zz0fxx0y0xx0fyx0y0yy0 onde fxfx e fyfy Com isso em mãos segue que a equação do plano tangente é dada usando os resultados já calculados no item anterior nós temos que 1910796200x21468200y1z796200x1468200y279620017962001468101927 20 Portanto a equação do plano é z796200x1468200y27120 215 Solução da questão 2 e O vetor gradiente é o seguinte grad ffxyhat ixhat jyfxyhat ixhat jy183x5y45x2y3x2y2 hat i9x6y415x4y610xy58x2y22 hat j12x7y36x5y515x4y25x2y48x2y22 Ou seja grad f î 9x6y4 15x4y6 10xy5 8 x2 y22 ĵ 18 12x7y3 6x5y5 15x4y2 5x2y4 8 x2 y22 No ponto pedido nós temos que o vetor gradiente é gradf2 1 796200 î 1468200 ĵ 216 Solução da questão 2 f Agora vamos calcular a derivada direcional de f com respeito do vetor v 15 8 no ponto 1 2 Com efeito a derivada direcional de f com respeito ao vetor v é obtida pelo seguinte desenvolvimento fv fx fy v fx fy 5 12 5 fx 12 fy 5 9x6y4 15x4y6 10xy5 8 x2 y22 12 12x7y3 6x5y5 15x4y2 5x2y4 8 x2 y22 Agora vamos aplicar essa derivada no ponto 2 1 que é o que foi efetivamente pedido na questão Nessas condições nós temos que fvxy21 5 fxx0y021 12 fyx0y021 5 796200 12 1468200 539950 e o resultado pedido é fvxy21 539950