Transformada de Laplace e Diagrama de Bode - Análise de Sistemas Lineares

TRANSFORMADA DE LAPLACE CONDUTORES INDUZIDOS NULOS IS CORRENTE INDUCTOR VLS SL IS CAPACITOR VCS 1 S C RESISTOR VRS R IS Vjs0 Ijs0 j1 j1 LKT PORE CONDUTORES INDUZIDOS MAS NULS PORO O CAPACITOR Is ss C S0 Vs 1 5C Is 1 5C OV Vs 50 S0 Is 1 5C OV Vs 50 S0 PORO O INDUCTOR Is ss 3L Is Vs 3L OV Vs L rs OV Vs L OV I0 S 10 mlt 14 3Ω 0 5F 10 5 Is sL1Ω 3Ω 1 5C 2 5 Ω 40 35 2 20 R Xl Xc 5 S S 2 35 2 S 2 35 2 Consigoes inuis mias Its s Vs Z 10 10 10 A1 A2 10 10 s 2 s 2 s 10 s 2 S S2 1 S2 2 Δ1 Js s 1 10 10 s 20 s2 s 2 s0 s 2 s2 10 0 2 1 Io e t 2t μt 2 TRANSFORMAD INVERSS WYF0939 ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES AULA 8 Diagrama de Bode Resposta em Frequência de Sistemas LTI A resposta em frequência de um sistema LTI fornece a caracterização intuitiva do comportamento entradasaída do sistema Isto ocorre porque a convolução no domínio tempo transformase em multiplicação no domínio frequência Sendo assim a saída do sistema representada no domínio frequência é obtida multiplicandose a representação em frequência do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema Resposta em Frequência de Sistemas LTI Conforme visto anteriormente a resposta ao impulso e a resposta em frequência de um sistema contínuo constituem um par de Transformada de Fourier Para que as duas representações sejam possíveis as condições de Dirichlet devem ser satisfeitas especificamente aquela condição em que caracteriza a resposta ao impulso do sistema de tempo contínuo como absolutamente integrável Diagrama de Bode Análise de sistemas de diferentes naturezas Termos de primeira e segunda ordem Traçado rápido e manual Curvas de Magnitude Hjω e fase de Hjω Diagrama de Bode 100 rads 2 oitavas 2² acima de 25 rads 100 rads 3 décadas abaixo 10³ de 100000 rads xt A senωt yt B senωt Φ B A Hjω Φ argHjω 20log₁₀ Hjω 20log₁₀ Yjω Xjω Diagrama de Bode Razão Entre Amplitudes Amplitude do Sinal de Saída Yjω Amplitude do Sinal de Entrada Xjω Computacional Scipy PYTHON from scipy import signal import matplotlibpyplot as plt numerador1 denominador1 1 sys signalTransferFunctionnumerador denominador w mag phase signalbodesys pltfigure pltsemilogxw mag Diagrama de Amplitude Bode pltfigure pltsemilogxw phase Diagrama de Fase Bode pltshow Diagrama de Bode Exemplo Hjω jω z jω p Hjω ω² z² ω² p² ϕ atanω z atanω p Representação gráfica Im jω ϕz ϕp z p Re Diagrama de Bode Exemplo Caso em que as raízes do numerador e do denominador de são reais e negativas Hjω K i1m zi² ω² j1n pj² ω² 20log10Hjω 20logK i1m log10 zi² ω² j1n log10 pj² ω² ϕHjω i1m atanω zi j1n atanω pj Diagrama de Bode Exemplo Caso em que as raízes do numerador e do denominador de são reais e negativas Hjω k jω z jω p k p z Resposta em Frequência Primeira Ordem ω a 20log1 jωa 20log 1 0 ω a 20log1 jωa 20logωa 20log ω 20log a 20u 20log a 20log1 jωa 20log1 ω²a²¹² 10log1 ω²a² Resposta em Frequência Primeira Ordem Hjω 1 jωa tan¹ωa ω a ω a tan¹ωa 0 tan¹ωa 90 Resposta em Frequência Segunda Ordem 20log1 2jζ ωωn jωωn² log amplitude 20log1 2jζωωn jωωn² ω ωn log amplitude 20log 1 0 ω ωn log amplitude 20logωωn² 40logωωn 40log ω 40log ωn 40u 40log ωn Resposta em Frequência Segunda Ordem Hjω tan¹ 2ζ ω ωₙ 1 ω ωₙ² ω ωₙ Hjω 0 ω ωₙ Hjω 180 Exemplo Esboçar o gráfico de Bode para Hs 20ss 100 s 2s 10 SOLUÇÃO Hs 20 100 2 10 s 1 s 100 1 s 21 s 10 100 s 1 s 100 1 s 21 s 10 Exemplo Esboçar o gráfico de Bode para Hs 20ss 100 s 2s 10 SOLUÇÃO a Para o zero na origem desenhe uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada passando por ω 1 b Para o pólo em 2 desenhe uma linha reta com uma inclinação de 20 dBdécada para ω 2 começando na frequência de canto ω 2 c Para o pólo em 10 desenhe uma linha reta com uma inclinação de 20 dBdécada começando na frequência de canto ω 10 d Para o zero em 100 desenhe uma linha reta com uma inclinação de 20 dBdécada começando na frequência de canto ω 100 Exemplo Esboçar o gráfico de Bode para Hs 20ss 100 s 2s 10 20 log HdB Asymptotic plot Exact plot ω 50 45 40 35 30 25 20 1 2 5 10 20 100 400 1000 a Exemplo Esboçar o gráfico de Bode para Hs 20ss 100 s 2s 10 SOLUÇÃO FASE a O zero na origem causa um deslocamento de fase de 90 b O pólo em s 2 tem uma assíntota com valor zero para ω 02 e uma inclinação de 45década começando em ω 02 e subindo até ω 20 O valor assintótico para ω 20 é 90 c O pólo em s 10 tem uma assíntota com valor zero para ω 1 e uma inclinação de 45década começando em ω 1 e subindo até ω 100 O valor assintótico para ω 100 é 90 d O zero em s 100 tem uma assíntota com valor zero para ω 10 e uma inclinação de 45década começando em ω 10 e subindo até ω 1000 O valor assintótico para ω 1000 é 90 Exemplo Esboçar o gráfico de Bode para Hs 20ss 100 s 2s 10 Exact plot ω Asymptotic plot phase 90 45 0 45 90 02 1 2 5 10 20 100 400 1000 b Resposta em Frequência Exemplo Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência Hjω 100 jω 10 from scipy import signal import matplotlibpyplot as plt sys signalTransferFunction100 1 10 w mag phase signalbodesys pltfigure pltsemilogxw mag Diagrama de Amplitude Bode pltfigure pltsemilogxw phase Diagrama de Fase Bode pltshow Resposta em Frequência Exemplo Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência Hjω jω2 5jω 100 jω1jω100 from scipy import signal import matplotlibpyplot as plt sys signalTransferFunction15100 1101100 w mag phase signalbodesys pltfigure pltsemilogxw mag Diagrama de Amplitude Bode pltfigure pltsemilogxw phase Diagrama de Fase Bode pltshow Resposta em Frequência Exercícios Obtenha as equações de magnitude e de fase e trace os diagramas de Bode assintótico e real para um sistema com a seguinte resposta em frequência Hjω 1200jω120 jω2 10 jω 100 jω 600 Hjω 10 jω2 105 jω 500 jω Hjω 10 jω jω2 105 jω 500 Representação por Diagrama de Blocos Somadores Nós rt et ct Rs Es Cs yt yt yt Ys Ys Ys Representação por Diagrama de Blocos Sistemas de Controle em MalhaAberta Rs H1s U1s H3s Ys H2s U2s Operação com Blocos REALIMENTAÇÃO A B A B G AG BG H A G1GH AG BG Operação com Blocos Exemplo Equações do Processo Q₁t H₁t H₂t R₁ Q₂t H₂t R₂ Operação com Blocos Exemplo Diagrama de Blocos Operação com Blocos Exemplo Operação com Blocos Exemplo Qi 1A1s H1 1R1 Q1 1A2s 1R2 Q2 R2 Qi 1A1s H1 1R1 Q1 R2 1A2 R2 s 1 Q2 Operação com Blocos Exemplo Fluxo Qi H1 C1 H2 C2 Q1 Q2 Qi 1A2 A1 R2 R1 s2 A1 R1 A1 R2 A2 R2 s 1 Q2 Parte importante Penúltima aula ESTABILIDADE Xt Qt Hs Gs yt SISTEMA ESTÁVEL ESTÁVEL INSTÁVEL Re 0 Hs FT SISTEMA DO CAMINHO DIRETO Gs FT SISTEMA DO CAMINHO DE REALIMENTAÇÃO Qs Ys Xs FT SISTEMA EM MALHA FECHADA Qs Hs 1 GsHs criterio de routh Gs Ps Qs RAIZES PARTES REAIS POSITIVAS EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA am sm am1 sm1 a0 s0 am 0 am am1 a0 POSITIVOS ESTÁVEL MATRIZ DE ROUTH LINHA 1 am am2 am4 a0 sm D1 am s am2 am1 am3 am2 LINHA 2 am1 am3 am5 0 sm1 D2 am1 am1 am3 am2 LINHA 3 b1 b2 b3 sm2 LINHA 4 C2 C2 C2 b2 am3 b2 am2 b2 C2 b3 am5 am0 b3 b2 LINHA m3 z EXEMPLO 1 s4 3s3 7s2 3s 10 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Gs Ps Qs 54 D1 3 2 3 1 3 6 D2 3 10 3 01 D0 53 3 0 b1 6 3 10 3 6 2 D2 s2 b2 0 s1 C2 d2 0 0 SISTEMA INSTÁVEL UntitledOipynb import numpy as np Escrevendo a equação característica s4 3s3 7s2 3s 10 s4 5s3 3s2 1 coeficientes 15301 raizesnprootscoeficientes printraizes 4287625260j 1 0j 014381263046102849j 014381263046102849j EXEMPLO s13 k EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA s3 3s2 3s 1 k MS 3 MATRIZ DE ROUTH s3 1 3 s2 3 3k s1 b2 b2 s0 c2 b1 33 1k3 9 1 k3 b2 30 00 3 0 C2 1 k SISTEMA ESTÁVEL 9 1 k 0 K 0 CONSIDERANDO O POLINÔMIO DE 3s2 178 S j 3 10 SOBRE K 0 import numpy as np Escrevendo a equação característica s4 3s3 7s2 3s 10 s4 5s3 3s2 1 s3 3s2 3s 1 k para k8 coeficientes 1339 raizesnprootscoeficientes printraizes 300000000e000j 832667268e17173205081j 832667268e17173205081j 1 EXISTENCIA DE UM TERMO NULO NA PRIMEIRA COLUNA DO MATRIZ DE ROUTH 2 UMA LINHA DE ZEROS NA MATRIZ DE ROUTH 1 CASO ε0 2 CASO 25m2m24m5 dds sm1 2m1sm2 2m3sm4 4m5sm6 P Número de polos Z Número de zeros Ns ZP Integral de Contorno Circulo sentido Horário GsSZ SP Ponto Gs Res² Ims² Res² Ims² θso θz θp Rs o Gs Ys Hs Molha Direto GsHs Molha Fechado Ys Rs Gs 1GsHs Equação Característica Criterio de Nyquest NZP P 1GsHs Pleno0 pleno 1GsHs sσjw sp0 10 Sistema de Realimentação aberta Rs Ks10 Ys 1 Ks10 K0 Sistema Estável Ts Ks10K Pleno0 pleno 1GsHs 10 K1 Ts 1 s10 K5 Ts 5 s15 K20 Ts 20 s20 NZP 0 Sistemas de segundo orden Rs Wm2 ss 2ξWm Ys ξ razón de amortiguamiento Wm frecuencia natural Ts YsRs Wm2 s2 2ξWm s Wm2 Sistema estable en malla cerrada Δs γε GγεHγε Wm2 γε2 2ξγεWm Wm2 Wm2 ε2 j 2ξWmε ε4 4ξ2 Wm2 ε2 ReGsHssjε lim ε0 Wm2 ε2 ε4 4ξ2 Wm2 ε2 1 4ξ2 ImGsHssjε lim ε0 j 2ξ Wm2 ε ε4 4ξ2 Wm2 ε2 flano Φ flano 1 GsHs flano b flano 1 GsHs jω Plano s R Plano GsHs R B A B D E F Re 1 4ξ2 C D C E ε0 E Avaliando estabilidade no domínio da frequência Supplement facts Serving Size 1 Capsule Amount Per Serving Vitamin B12 50 mcg 833 Daily Value Daily Value not established Other ingredients Gelatin capsule magnesium stearate silica Contains no gluten wheat egg yeast soy milk fish shellfish Storage Store in a cool dry place Keep out of reach of children This product is formulated manufactured in the USA