Análise em Regime Transitório de Sistemas Dinâmicos

Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 1 4 ANÁLISE EM REGIME TRANSITÓRIO 41 TRANSIENTE DE RESPOSTA Frequentemente os sistemas dinâmicos submetidos a ações sofrem bruscas alterações num curto intervalo de tempo e depois se mantêm constante por longos períodos O comportamento dinâmico destes sistemas quando sujeito a tais ações pode ser visto sob duas perspectivas diferentes e complementares o comportamento num curto período logo após a aplicação da ação e o comportamento no longo período quando sua dinâmica tornase estável ou não dependendo do sistema ou repetitiva O comportamento de curto período é conhecido como resposta transitória transiente de resposta ou simplesmente transiente O comportamento após o estabelecimento de condições perenes é conhecido resposta em regime permanente Muito embora a entrada possa assumir qualquer valor o comportamento dinâmico de um sistema pode ser caracterizado razoavelmente bem ser for assumido que esta entrada possa ser escolhida dentro de um pequeno número de funções previamente definidas Uma vez que sistemas dinâmicos são comumente submetidos a funções descontínuas é conveniente portanto analisar a resposta com base nas funções já conhecidas como a função degrau unitário impulso unitário e rampa Estas funções ademais possuem transformadas de Laplace conhecidas e simples 411 Sinais de testes típicos Os sinais de entrada de teste comumente usados são as funções degrau rampa impulso senoidais etc Com esses sinais de teste tanto analises matemáticas como experimentais de sistemas de controle podem ser feitas com facilidade Pois esses sinais são funções muito simples do tempo A determinação de qual ou quais desses sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar características do sistema depende da forma da entrada a que o sistema será sujeito mais frequentemente durante operação normal Se as entradas para um sistema de controle são funções que variam gradativamente com o tempo então uma função rampa de tempo pode ser um bom sinal de teste Uma vez projetado um sistema de controle em sinais de teste normalmente o desempenho do sistema para entradas reais é satisfatório O uso de tais sinais nos permite comparar o desempenho de todos os sinais na mesma base Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 2 412 Resposta transitória e resposta estacionária A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes a resposta transitória e a resposta estacionária Entendese por resposta transitória aquela que vai do estado inicial ate o estado final Por resposta estacionaria entendese a maneira como a saída do sistema se comporta quando t tende a infinito 42 RESPOSTAS DE SISTEMAS DINÂMICOS Considerando a analogia que existe entre os sistemas mecânicos elétricos e hidráulicos e também térmicos podese restringir a análise realizada apenas a um deles uma vez que nos sistemas análogos o comportamento dinâmico é idêntico Melhor ainda a análise da resposta pode ser feita tendo como base a função de transferência dos sistemas mais comuns de primeira e segunda ordem ou seja nos quais o grau do polinômio do denominador é igual a 1 ou 2 sem se preocupar se o sistema é mecânico ou elétrico Sistemas de grau maior do que 2 possuem comportamento dinâmico que se aproxima na maior parte deles aos sistemas de segunda ordem e portanto não necessitam ser analisados 43 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Considere um sistema físico representado pelo modelo matemático de uma equação diferencial ordinária de ordem 2 normalizada da seguinte forma Cuja função de transferência é da seguinte forma sendo ωn freqUência natural não amortecida ξ fator de amortecimento Os pólos deste sistema de segunda ordem são Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 3 Esta função tem pólos no semiplano esquerdo correspondendo a um sistema estável se e somente e ξ 0 Para 0 ξ 1 os pólos são complexos conjugados sendo reais se ξ 1 A Figura a seguir ilustra a situação em que os pólos são complexos conjugados Por razões que se tornarão mais claras com a continuação deste estudo a ωn dáse o nome de frequência natural ou frequência própria do sistema e a ξ dáse o nome de fator de amortecimento Os sistemas de segunda ordem tomam as seguintes designações em função do valor de ξ Sistema subamortecido se 0 ξ 1 Sistema criticamente amortecido se ξ 1 Sistema sobreamortecido se ξ 1 431 Sistemas subamortecidos 0 ξ 1 A figura anterior ilustra a relação das posições dos pólos com os parâmetros ωn e ξ Indica também o ângulo ψ arccos ξ que será útil na caracterização destes sistemas Os pólos são dados por Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 4 Definese τ 1ξ ωn parâmetro que como veremos irá desempenhar um papel semelhante ao da constante de tempo dos sistemas de primeira ordem Definise valor que representa a frequência das oscilações amortecidas do sistema Assim os pólos são dados por 4311 Resposta ao degrau Aplicando as transformadas de Laplace para o sistema de segundo grau com uma entrada em degrau obtemse Esta resposta com exceção do caso criticamente amortecido apresenta oscilações com frequência ωd e com amplitude amortecida com constante de tempo τ 1σ 1ξ ωn A frequência de oscilação diminui com o aumento de ξ mas essa diminuição é pouco visível nos gráficos porque para ξ pequeno ωd é quase igual a ωn e para ξ grande o amortecimento das oscilações é muito rápido O sinal de erro para este sistema é a diferença entre a entrada e a saída e vale Os principais parâmetros desta resposta são Período das oscilações amortecidas Tempo de pico Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 5 Sobreelevação Tempo de subida Tempo de estabelecimento Para os tempos de subida 1090 e 5 95 não existem expressões simples A resposta ao degrau encontrase ilustrada abaixo para vários valores do fatores de amortecimentos incluindo o caso criticamente amortecido Fonte Ogata 4312 Resposta ao Impulso Sabendo que τ desempenha o papel de constante de tempo do decaimento das oscilações do sistema pode ser demonstrado que a resposta ao impulso para sistemas de segunda ordem subamortecidos é dada por Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 6 Esta resposta encontrase ilustrada na figura a seguir para vários valores do fator de amortecimento incluindo o caso criticamente amortecido 432 Sistemas sobreamortecidos ξ 1 Quando a constante de amortecimento é maior do que 1 temse um sistema sobreamortecido ou superamortecido 4321 Resposta ao degrau unitário Sendo Ou se ξ 1 Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 7 Os parâmetros de desempenho para este caso são Tempo de subida t r 10 90 22τ Tempo de estabelecimento ts 5 3τ Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unitário para diferentes valores da constante de amortecimento 4322 Resposta ao impulso unitário Para os mesmos M p1 e p2 anteriores 433 Sistemas criticamente amortecidos ξ 1 Quando o sistema tornase criticamente amortecido ou de amortecimento crítico 4331 Resposta ao degrau unitário Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 8 Tempo de subida t r 10 90 22 ωn Tempo de estabelecimento ts 5 48 ωn 4332 Resposta ao impulso 44 ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE Em geral a análise do desempenho ou das características de um sistema é realizada com base na resposta deste sistema a uma excitação qualquer Como o degrau unitário permite diferenciar bem o comportamento dinâmico dos diversos sistemas ele é normalmente escolhido como a excitação de referência embora o impulso unitário possa igualmente desempenhar este papel Como visto a resposta de um sistema de ordem maior ou igual a 2 não atinge a referência imediatamente mas apresenta um transiente amortecido até atingir o regime estacionário ou permanente O comportamento do sistema no transitório depende é claro das condições iniciais Contudo para simplificar a análise é comum adotarse condições iniciais nulas Assim a resposta destes sistemas possui o comportamento típico mostrado na Figura abaixo com uma ou outra alteração Analisando este comportamento podese definir algumas variáveis com base na resposta ao degrau unitário As mais importantes são tempo de atraso de resposta td tempo de subida tr instante de pico ou de máxima resposta tp máximo sobresinal Mp tempo de assentamento ts Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 9 Caracterização da resposta de um sistema dinâmico O tempo de atraso de resposta td é o intervalo no qual o sistema atinge pela primeira vez 50 do seu valor final estacionário O tempo de subida tr é o tempo que o sistema leva para passar de 0 a 100 do seu valor final ou então de 5 a 95 ou ainda de 10 a 90 Na Figura o tempo de subida está representado no intervalo 0 a 100 O tempo de pico ou instante de pico ou instante de máxima resposta tp é o intervalo de tempo necessário até que o sistema atinja seu primeiro sobresinal O sobresinal máximo ou overshoot Mp é a diferença entre a resposta no instante de pico e o valor da resposta em regime permanente Pode ser mostrado que o sobresinal máximo relacionase com a estabilidade do sistema O tempo de assentamento ts é o intervalo que o sistema leva até que a resposta caia dentro de uma faixa de valores centrada no valor final do regime permanente Esta faixa é geralmente escolhida entre 2 a 5 dependendo dos objetivos do projeto O tempo de assentamento é maior do que todos os outros intervalos definidos aqui Admitese para fins práticos que após o tempo de assentamento o sistema tenha atingido o regime permanente Em sistemas sobreamortecidos o instante de pico e o sobresinal máximo não são definidos 45 EXEMPLOS Exemplo 01 Considere o sistema de segunda ordem visto a seguir onde ξ 06 e ωn 5 rads Serão obtidos o tempo de subida tr instante de pico tp sobresinal Mp e o tempo de acomodação ts quando o sistema for submetido a uma solicitação em degrau unitário Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 10 Exemplo 02 Para o sistema visto na figura abaixo determine os valores do ganho da malha direta k e a constante da realimentação kh de tal modo que o Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 11 valor máximo de ultrapassagem na resposta ao degrau unitário seja 02 e o instante de pico seja 10 segundo Com estes valores de k e kh obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação Admitir que J 1 kgm2 e B 1Nmrads Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 12 46 EXERCÍCIOS Ex 01 Considere o sistema visto a seguir onde ξ 08 e ωn 52 rads Desejase obter o tempo de subida tr instante de pico tp sobresinal Mp e o tempo de acomodação ts quando o sistema é sujeito a uma entrada em degrau unitário Representação em Diagrama de Blocos Teoria de Controle de Processos TCP Prof Carlos Magno R Vasques 13 Modelo Matemático Ex 02 Para o sistema visto na figura abaixo determine os valores do ganho da malha direta k e a constante da realimentação kr de tal forma que o sobre sinal máximo na resposta ao degrau unitário seja 04 e o instante de pico seja 12 segundo Com estes valores de k e kr obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação Representação em diagrama de blocos Modelo Matemático