Exercicios de Cálculo

Questão 1 Calcule as derivadas parciais das funções abaixo a fxy e2x2 y b fxy x2 y 2xy xy2 c fxy cosxy senx y d z x2 lnx2 y2 Solução a Aplicando a Regra da Cadeia temos que fx xy e2x2 y x 2x2 y e2x2 y 4xy 4xye2x2 y e fy xy e2x2 y y 2x2 y e2x2 y 2x2 2x2 e2x2 y b Temos que fx xy 2xy 2y y2 y2x 2 y e fy xy x2 2x 2xy xx 2 2y c Aplicando a Regra da Cadeia temos que fx xy senx y x x y cosx y x x y senx y cosx y e fy xy senx y y x y cosx y y x y senx y cosx y d Aplicando a Regra do Produto e da Cadeia temos que fx xy ddx x2 lnx2 y2 x2 x lnx2 y2 2x lnx2 y2 x2 1x2 y2 ddx x2 y2 2x lnx2 y2 2x3x2 y2 2x lnx2 y2 x2x2 y2 e fy xy x2 lnx2 y2 y x2 y2 2x2 yx2 y2 Questão 2 Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície fxy sqrt36 x2 2y3 com o pano y 8 no ponto de tangência para xyz 482 Solução Começamos substituindo y 8 na equação da superfície para obtermos a curva de interseção z sqrt36 x2 2 83 sqrt20 x23 z2 20 x29 9z2 x2 20 9z220 x220 1 ou seja uma hipérbole de centro 00 e focos 0 10 sqrt23 e 0 10 sqrt23 Agora para determinar a inclinação da reta tangente a essa curva calculamos z dzdx xyz 13 12 sqrt20 x2 2x x3 sqrt20 x2 e portanto no ponto xyz 482 dzdx482 43 sqrt20 16 418 29 f xx y 4xy e f y x y 2x2 e assim a equacao do plano tangente em 1 1 f1 1 e dada por z 2 x 1 4 y 1 2 z 4x 2y 4 Ja a equacao da reta normal e dada por x y z x0 y0 z0 λ4 2 1 b Temos que f xx y 9x2y y e f y x y 3x3 x Assim a equacao do plano tangente em 1 1 f1 1 e dada por z 2 x 1 8 y 1 2 z 8x 2y 8 Ja a equacao da reta normal e dada por x y z x0 y0 z0 λ8 2 1 Questao 4 Use a regra da cadeia para determinar dz dt ou dw dt a z x2 y2 x t3 e y 1 t2 b z x2y3 x 1 t e y 1 t c z xe x y x cost e y e2t Solucao a Aplicando a Regra da Cadeia temos que dz dt z x dx dt z y dy dt 2x 3t2 2y 2t 6xt2 4yt 2t3xt 2y b Aplicando a Regra da Cadeia temos que 3 1 Calcule as derivadas parciais das funções abaixo a fxy e2x2 y b fxy x2 y 2xy xy2 c fxy cosxy senxy d z x2 lnx2 y2 2 Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície fxy 13 sqrt36 x2 2y com o plano y 8 no ponto de tangência para xyz 482 3 Determine as equações do plano tangente e dos vetores normais ao gráfico da função dada no ponto dado a fxy 2x2 y em P11f11 b fxy 3x3 y xy em P11f11 4 Use a regra da cadeia para determinar dzdt ou dwdt a z x2 y2 x t3 e y 1 t2 b z x2 y3 x 1 sqrtt e y 1 sqrtt c z xeyt x cost e y e2t 5 Use a regra da cadeia para determinar zs ou zt a z x2 sen y x s2 t2 e y 2st b z senxcos y x st2 e y s2 t2 6 Use a regra da cadeia na função z xy com x r est e y rset para determinar as derivadas parciais zs zt e zr quando r 1 s 2 e t 0 7 Em cada item abaixo determine o gradiente f e calcule o gradiente no ponto P a fxy x3 4x2 y y2 P01 b fxy ex sen y P1 π4 c fxyz xy2 z3 P121 d fxyz xy yz2 xz3 P203 8 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v a fxy xy P01 v 13 b fxy sqrtx y P51 v 125 c fxy xexy P30 v 23 zt zx xt zy yt 2x sen y 2t x2 cosy 2s 4t x sen y 2s x2 cosy 2x2t sen y s x cosy b Aplicando a Regra da Cadeia temos que zs zx xs zy ys cos x cosy 2s t sen x sen y 2s 2s tcos x cosy 2s sen x sen y zt zx xt zy yt cos x cosy 2s t sen x sen y 2t 2t sen x sen y 2s tcos x cosy Questão 6 Use a regra da cadeia na função z xy com x rsest e y rset para determinar as derivadas parciais zs zt e zr quando r 1 s 2 e t 0 Solução Aplicando a Regra da Cadeia temos que zs zx xs zy ys 1y rtest xy2 r et 1y rtest xy2 ret ry test x ety dzdt zx dxdt zy dydt 2xy3 12t 3x2y2 12t 2xy32t 3x2y22t 2xy3 3x2y22t xy22y 3x2t c Aplicando a Regra da Cadeia temos que dzdt zx dxdt zy dydt exy x yy sent x2 exyy2 2et Questão 5 Use a regra da cadeia para determinar zs ou zt a z x2s e ny x s2 t2 e y 2st b z senx cosy x s t2 e y s2 t2 Solução a Aplicando a Regra da Cadeia temos que zs zx xs zy ys 2x s en y 2s x2 cos y 2t 4s x sen y 2t x2 cos y 2x2s sen y t x cos y Para r 1 s 2 e t 0 temos que zs xy2 zt zx xt zy yt 1y rsest xy2 rset 1y rsest x rsety2 rsy est x ety Para r 1 s 2 e t 0 temos que zt 2y1 xy zr zx xr zy yr 1y est xy2 set 1y est xsety Para r 1 s 2 e t 0 temos que zr 1y 1 2xy Questão 7 Em cada item abaixo determine o gradiente de f e calcule o gradiente no ponto P a fxy x3 4x2 y y2 P01 b fxy ex sen y P1π4 c fxyz x y2 z3 P121 d fxyz xy yz2 xz3 P203 Solução a Temos que fx xy 3x2 8xy e fy xy 4x2 2y Logo fxy fx xy fy xy 3x2 8xy 4x2 2y f01 02 Questão 8 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v a fxy xy P01 e v 13 b fxy xy P51 e v 125 c fxy x exy P30 e v 23 Solução Recorde que a derivada direcional de uma função f na direção do vetor unitário u é dada por Du fxy fxy u b Temos que fxxy ex seny e fyxy ex cosy Logo fxy fxxy fyxy ex seny ex cosy f1 π4 e22 e22 c Temos que fxxy y2 z3 fyxy 2xyz3 e fzxy 3xy2 z2 Logo fxyz fxxyz fyxyz fzxyz y2 z3 2xyz3 3xy2 z2 f121 4412 d Temos que fxxyz y z3 fyxyz x z2 e fzxyz 2yz 3x z2 Logo fxyz fxxyz fyxyz fzxyz y z3 x z2 2yz 3x z2 f203 271154 a Temos que fxxy 1y e fy xy2 Logo fxy fxxy fyxy 1y xy2 Sendo v 12 32 10 segue que vv 110 13 e Dv fxy fxy vv 1y xy2 110 13 110 1y 3xy2 Portanto Dv f01 110 b Temos que fxxy 12xy e fy 12xy Logo fxy fxxy fyxy 12xy 12xy Sendo v 122 52 13 segue que vv 113 125 e Dv fxy fxy vv 12xy 12xy 113 125 126 12xy 5xy Portanto Dv f51 126 122 52 752 c Temos que fxxy exy xy 1 e fy x2 exy Logo fxy fxxy fyxy exyxy 1 x2 exy Sendo v 22 32 13 segue que vv 113 23 e Dv fxy fxy vv exyxy 1 x2 exy 113 23 113 2 exyxy 1 3x2 exy 113 2xyexy 2 exy 3x2 exy Portanto Dv f30 29