Resolução

A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios Essa regra além de ser uma das mais simples é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos descritos por polinômios tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais eficientes e precisas Utilizando dessa regra derive a função fx 2x⁵5 4x² 28 e acerca do resultado assinale a alternativa CORRETA A fx 2x⁴ 4x B fx 10x⁴ 8x C fx 2x⁴ 8x D fx 10x⁴ 8x 28 Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada Como proposto por Leibniz ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função fx 2x³ 2x 1 no ponto 1 1 A y 4x 3 B y 4x 3 C y 4x 3 D y 4x 3 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Dessa forma imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C 0 24 R definida por Cx 2x³ 66x² 432x 3000 onde x representa a quantidade produzida Determine o que se pede para cada situação a seguir a 2 pontos Para a fabricação de 8 e 20 peças determine o valor de custo para cada situação b 3 pontos Determine os pontos críticos da função custo c 3 pontos Verifique pela regra da derivada segunda se os pontos críticos são de máximo ou mínimo d 2 pontos Identifique pela derivada segunda o ponto de inflexão da função Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão Dica utilize os resultados obtidos nos itens anteriores Obs apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item No estudo do cálculo uma questão fundamental é entender como as funções se comportam em diferentes situações Uma ferramenta importante para essa análise é o conceito de limite de uma função O limite de uma função descreve o valor que a função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima de um determinado ponto Essa noção é essencial para compreender o comportamento de uma função em pontos críticos como singularidades ou extremos locais Diante disso considere a função g definida por gx 2x2 2x 12 x2 2x 3 Responda a 3 pontos Determine o limite da função g quanto x tende a menos infinito b 3 pontos Determine o limite da função g quando x tende a 3 c 4 pontos Verifique com auxílio dos limites laterais o comportamento da função na assíntota vertical x 1 Dica para facilitar o item c você pode utilizar da simplificação encontrada no item b Obs apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item 1 01png RESOLUÇÃO Calculamos a derivada da função fx 2x3 2x 1 f x d dx2x3 2x 1 f x 3 2x2 2 f x 6x2 2 Calculamos o coeficiente angular da reta tangente f 1 6 12 2 f 1 6 2 4 Equação da reta tangente substituindo o coeficiente angular m 4 e o ponto 1 1 y y0 mx x0 y 1 4x 1 y 4x 1 1 y 4x 3 Gabarito D 2 02png RESOLUÇÃO 1 i Determinamos a coordenada y através da função fx f12 1 12 2 y 2 ii Calculamos a derivada da função fx fx 1x 1x1 fx 11x2 fx 1 x2 iii Calculamos o coeficiente angular m f12 1 122 f12 4 iv Equação da reta tangente substituindo o coeficiente angular m 4 e o ponto 12 2 y y0 mx x0 y 2 4x 12 y 4x 2 2 y 4x 4 Gabarito A 3 A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios Essa regra além de ser uma das mais simples é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos descritos por polinômios tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais eficientes e precisas Utilizando dessa regra derive a função fx 2x5 5 4x2 28 e acerca do resultado assinale a alternativa CORRETA A fx 2x4 4x B fx 10x4 8x C fx 2x4 8x D fx 10x4 8x 28 RESOLUÇÃO fx 2x5 5 4x2 28 fx 52x51 5 24x21 fx 2x4 8x Gabarito C 4 04png RESOLUÇÃO Vamos analisar cada enunciado aplicando a Regra da Cadeia fgx f gx gx i y sin2x y 2 cos2x Calculando a derivada da função externa fu senu f u cosu Calculando a derivada da função interna gu 2x gu 2 Aplicando a regra da cadeia y cos2x 2 2cos2x V ii y lnx2 y 2x2 Calculando a derivada da função externa fu lnu f u 1u Calculando a derivada da função interna gu x2 gu 2x 3 Aplicando a regra da cadeia y 1 x2 2x 2x x2 2 x F iii y tan3x2 y sec23x2 Calculando a derivada da função externa fu tanu f u sec2u Calculando a derivada da função interna gu 3x2 gu 6x Aplicando a regra da cadeia y sec23x2 6x F iv y 2x 33 y 62x 32 Calculando a derivada da função externa fu u3 f u 3u2 Calculando a derivada da função interna gu 2x 3 gu 2 Aplicando a regra da cadeia y 32x 32 2 62x 32 V Gabarito A 5 05png 4 RESOLUÇÃO Solucionaremos a questão através do Teorema da Derivada da Função Inversa gx 1 f x y fx i Verificando ponto 1 3 f1 13 12 1 3 ii Calculando a derivada de fx f x 3x2 2x iii Calculando f 1 f 1 312 21 31 2 5 iv Aplicando Teorema gy 1 f x 1 5 Gabarito D 6 06png RESOLUÇÃO Sendo fx 2e3x i Calculando derivada primeira f x 2 3e3x 6e3x ii Calculando a derivada segunda f x 6 3e3x 18e3x 5 iii Calculando a derivada terceira f x 18 3e3x 54e3x Gabarito A As sentenças II e III estão corretas 7 07png RESOLUÇÃO Gabarito B FFVV 8 08png RESOLUÇÃO 6 Não encontrei solução correta para esse enunciado 9 09png RESOLUÇÃO Calculando a derivada da função fx 2x2 x 1 f x 2 2x21 1 0 f x 4x 1 Gabarito A 10 10png RESOLUÇÃO Calculando a derivada da função fx 3x2 cos2x f x 2 3x sen2x 2 f x 6x 2sen2x Gabarito C 11 7 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Dessa forma imagine que o custo em reais de fabricação de uma unidade de um certo produto é dado pela função C 0 24 R definida por Cx 2x3 66x2 432x 3000 onde x representa a quantidade produzida Determine o que se pede para cada situação a seguir a 2 pontos Para a fabricação de 8 e 20 peças determine o valor de custo para cada situação b 3 pontos Determine os pontos críticos da função custo c 3 pontos Verifique pela regra da derivada segunda se os pontos críticos são de máximo ou mínimo d 2 pontos Identifique pela derivada segunda o ponto de inflexão da função Justifique o motivo de ser um ponto de inflexão Dica utilize os resultados obtidos nos itens anteriores Obs apresentar o desenvolvimento e raciocínio aplicado em cada item RESOLUÇÃO a Determinando o valor de custo i Custo para 8 peças C8 283 6682 4328 3000 C8 2512 6664 3456 3000 C8 1024 4224 3456 3000 C8 3256 ii Custo para 20 peças C20 2203 66202 43220 3000 C20 28000 66400 8640 3000 C20 16000 26400 8640 3000 C20 1240 b Pontos Críticos i Calculando a derivada primeira Cx ddx 2x3 66x2 432x 3000 Cx 6x2 132x 432 ii Igualando Cx 0 para encontrar os pontos críticos 6x2 132x 432 0 x2 22x 72 0 x b sqrtb2 4ac 2a x 22 sqrt222 4172 21 x 22 sqrt196 2 x 22 14 2 x1 22 14 2 x1 18 x2 22 14 2 x2 4 c Verificando se os pontos críticos são de máximo ou mínimo local através da derivada segunda Cx 12x 132 i Analisando em x 18 C18 1218 132 216 132 84 Como C18 0 x 18 é um ponto de mínimo local ii Analisando em x 4 C4 124 132 48 132 84 Como C4 0 x 4 é um ponto de máximo local d Identifique pela derivada segunda o ponto de inflexão da função Cx 12x 132 0 12x 132 x 132 12 11 Podemos justificar analisando se ocorre mudança de sinal de Cx antes e depois desse ponto C10 1210 132 12 C12 1212 132 12 12 12png 9 RESOLUÇÃO a Determinar limite da função gx 2x2 2x 12x2 2x 3 x i Dividindo numerador e denominar pelo termo de maior grau x2 gx 2x2 2x 12x2 2x 3x2 gx 2 2x 12x21 2x 3x2 ii Aplicando limite a Limite em x lim x gx lim x 2x 2x 1 lim x 2 4x1 1x 2 Resposta 2 b Limite em x 3 lim x3 gx lim x3 2x 2x 1 23 23 1 104 52 Resposta 52 c Comportamento na assíntota vertical x 1 lim x1 gx lim x1 2x 2x 1 lim x1 gx lim x1 2x 2x 1 Logo em x 1 há uma assíntota vertical Resposta lim x1 gx e lim x1 gx O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto Para definila precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a equação da reta tangente à função fx 1x no ponto x 12 A y 4x 4 B y 4x 4 C y x4 1 D y x4 1 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y sin2x implica em y 2cos2x y lnx3 implica em y 2x3 y tan 3x2 implica em y sec23x2 y 2x 33 implica em y 62x 32 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F V B V V F V C F F V F D F V V V A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicadas de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Sendo assim determine a derivada da função inversa fx x³ x² 1 no ponto 1 3 e assinale a alternativa CORRETA A g4 13 B g4 14 C g4 12 D g4 15 Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disso é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Acerca das derivadas da função exponencial fx 2e³ˣ analise as sentenças a seguir I A derivada primeira é 5e³ˣ II A derivada primeira é 6e³ˣ III A derivada segunda é 18e³ˣ IV A derivada segunda é 22e³ˣ V A derivada terceira é 56e⁴ˣ Assinale a alternativa CORRETA A As sentenças II e III estão corretas B As sentenças II III e V estão corretas C As sentenças III e IV estão corretas D As sentenças I II e V estão corretas A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente Analise cada uma das sentenças a seguir classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V F F B F F V V C V V F F D V F V V O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial 2y y 1 ou seja o dobro da derivada primeira somada com a própria função é igual a 1 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2ex2 1 y 2ex2 1 y ex2 1 y ex2 1 Marque a opção que apresenta a sequência correta de preenchimento dos parênteses de cima para baixo A F V F V B V V F V C F F V F D V F V F No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto A partir disso determine a derivada da função a seguir fx 2x² x 1 Acerca do resultado assinale a alternativa CORRETA A fx 4x 1 B fx 4x² 1 C fx 2x 1 D fx 4x² x² 1 A derivada de uma função em um determinado ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto indicando como a função está se comportando e o quanto ela está se aproximando ou afastando de uma reta tangente naquele ponto Seja a função fx 3x² cos2x assinale a alternativa que apresenta a sua derivada A fx 6x 2sen2x B fx 6x sen2x C fx 6x 2sen2x D fx 6x sen2x