Lista de Exercícios Resolvida Calculo de Integrais Indefinidas e Definidas

Atenção Todas as soluções devem ser justificadas QUESTÕES Questao 1 3 pts Encontre a integral indefinida a x4 12 x3 14 x 2 dx b cos x 2x dx Questao 2 3 pts Calcule a integral indefinida usando o método da substituição a x senx2 dx b x12x x2 dx Sugestão Faça u 2x x² Questao 3 2 pts Calcule a seguinte integral definida 01 cosπt2 dt Questao 4 2 pts Determine a área compreendida entre a parábola y 2 x2 e a reta y x 1 a Integramos a soma termo a termo da seguinte forma Sendo 𝑥4𝑑𝑥 𝑥5 5 𝐶 𝑥3𝑑𝑥 𝑥4 4 𝐶 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 2 𝐶 1𝑑𝑥 𝑥 𝐶 Logo considerando as constantes e somando os valores 𝑥4 𝑥3 2 𝑥 4 2𝑑𝑥 𝑥5 5 𝑥4 8 𝑥2 8 2𝑥 𝐶 Sendo C uma constante real b Da mesma maneira do item anterior vamos separar a integral da soma como a soma das integrais e fazer Sendo 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶 𝑥𝑑𝑥 2 3 𝑥 3 2 𝐶 Somando os valores considerando as constantes 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 4 3 𝑥 3 2 𝐶 Sendo C uma constante real 2 a Pelo método de substituição 𝑢 𝑥2 𝑒 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 Ficamos com 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑢𝑑𝑢 1 2 cos𝑢 𝐶 Voltando com o valor de u 1 2 cos𝑥2 𝐶 Sendo C uma constante real b Novamente por substituição faremos 𝑢 2𝑥 𝑥2 e 𝑑𝑢 2𝑥 2𝑑𝑥 Na integral ficamos com Sendo 𝑢𝑑𝑢 2 3 𝑢 3 2 1 3 𝑢32 𝐶 Voltando com o valor de x 1 3 𝑥𝑥 2 32 𝐶 Sendo C uma constante real 3 Faremos a substituição 𝑢 𝜋𝑡 2 𝑒 𝑑𝑢 𝜋 2 𝑑𝑡 Adaptando os limites de integração voltamos na integral e ficamos com 2𝑠𝑒𝑛𝑢 𝜋 𝑐𝑜𝑚 𝑢 𝑑𝑒 0 à 𝜋 2 2𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝜋 2𝑠𝑒𝑛0 𝜋 2 𝜋 4 Observamos o esboço dos gráficos e vemos Dessa forma a área compreendida entre as curvas será dada pela seguinte integral definida 2 𝑥2 𝑥𝑑𝑥 2 1 Sendo 𝑥2𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 2 1𝑑𝑥 𝑥 Ficamos então com 3 2 6 9 2