Exercicios Matemática Discreta

Usando Notação de Conjuntos com Quantificadores Às vezes restringimos o domínio de uma sentença determinada explicitamente fazendo uso de uma notação específica Por exemplo x 𝑆𝑃𝑥 indica a quantificação universal de 𝑃𝑥 de todos os elementos do conjunto 𝑆 Em outras palavras x 𝑆𝑃𝑥 representa x x 𝑆 𝑃𝑥 Semelhantemente x 𝑆𝑃𝑥 indica a quantificação existencial de 𝑃𝑥 sobre os elementos em 𝑆 Ou seja x 𝑆𝑃𝑥 representa x x 𝑆 𝑃𝑥 EXEMPLO 19 Qual o significado das proposições x 𝑅 x² 0 e x 𝑍 x² 1 Solução A proposição x 𝑅 x² 0 afirma que para todo número real x x² 0 Essa proposição pode ser expressa como O quadrado de todo número real é não negativo Essa é uma proposição verdadeira A proposição x 𝑍x² 1 afirma que existe um número inteiro x tal que x² 1 Essa proposição pode ser expressa como Há um número inteiro cujo quadrado é 1 Isso também é verdadeiro pois x 1 é tal número inteiro assim como 1 ConjuntosVerdade de Quantificadores Vamos agora combinar conceitos da teoria dos conjuntos com os de predicados lógicos Dados um predicado 𝑃 e um domínio 𝐷 definimos o conjuntoverdade de 𝑃 como o conjunto de elementos x em 𝐷 para que 𝑃𝑥 seja verdadeira O conjuntoverdade de 𝑃𝑥 é indicado por x 𝐷 𝑃𝑥 EXEMPLO 20 Quais são os conjuntosverdade dos predicados 𝑃𝑥 𝑄𝑥 e 𝑅𝑥 em que o domínio é o conjunto dos números inteiros e 𝑃𝑥 é x 1 𝑄𝑥 é x² 2 e 𝑅𝑥 é x x Solução O conjuntoverdade de 𝑃 x 𝑍 x 1 é o conjunto dos números inteiros com x 1 Como x 1 quando x 1 ou x 1 e para nenhum outro número inteiro x vemos que o conjuntoverdade de 𝑃 é o conjunto 1 1 O conjuntoverdade de 𝑄 x 𝑍 x² 2 é o conjunto dos números inteiros com x² 2 Esse é um conjunto vazio pois não há nenhum número inteiro x para que x² 2 O conjuntoverdade de 𝑅 x 𝑍 x x é o conjunto dos números inteiros com x x Como x x se e somente se x 0 temos que o conjuntoverdade 𝑅 é ℕ o conjunto dos números inteiros não negativos Note que x 𝑃𝑥 é verdadeira sobre o domínio 𝑈 se e somente se o conjuntoverdade de 𝑃 for o conjunto 𝑈 Da mesma forma x 𝑃𝑥 é verdadeira sobre o domínio 𝑈 se e somente se o conjuntoverdade de 𝑃 não for vazio Exercícios 1 Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo a 𝑥 𝑥 é um número real tal que 𝑥² 1 b 𝑥 𝑥 é um número inteiro positivo menor que 12 c 𝑥 𝑥 é o quadrado de um número inteiro e x 100 d 𝑥 𝑥 é um número inteiro tal que 𝑥² 2 a 1 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 3 1 b 1 1 1 1 c 4 Suponha que 𝐴 2 4 6 𝐵 2 6 𝐶 4 6 e 𝐷 4 6 8 Determine quais desses conjuntos são subconjuntos de outro desses conjuntos 5 Para cada um dos conjuntos abaixo determine se 2 é um elemento do conjunto a 𝑥 𝑅 𝑥 é um número inteiro maior que 1 b 𝑥 𝑅 𝑥 é o quadrado de um número inteiro c 2 2 d 2 2 e 2 2 2 f 2 6 Para cada um dos conjuntos do Exercício 5 determine se 2 é um elemento do conjunto 7 Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira ou falsa a 0 b 0 c 0 d 0 e 0 f 0 0 g 8 Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira ou falsa a b c d e f 9 Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira ou falsa a 𝑥 𝑥 b 𝑥 𝑥 c 𝑥 𝑥 d 𝑥 𝑥 e 𝑥 f 𝑥 10 Use um diagrama de Venn para ilustrar o subconjunto dos números inteiros ímpares no conjunto de todos os números inteiros positivos não excedentes a 10 11 Use um diagrama de Venn para ilustrar o conjunto de todos os meses do ano cujos nomes não contêm a letra 𝑅 no conjunto de todos os meses do ano 12 Use um diagrama de Venn para ilustrar a relação 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 13 Use um diagrama de Venn para ilustrar a relação 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 14 Use um diagrama de Venn para ilustrar a relação 𝐴 𝐵 e 𝐴 𝐶 15 Suponha que 𝐴 𝐵 e 𝐶 sejam conjuntos tal que 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 Mostre que 𝐴 𝐶 16 Encontre dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 tal que 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐴 17 Qual é a cardinalidade de cada um dos conjuntos abaixo a 𝑎 b 𝑎 c 𝑎 𝑎 d 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 18 Qual é a cardinalidade de cada um dos conjuntos abaixo a b c d 19 Encontre o conjunto de partes para cada um dos conjuntos abaixo em que 𝑎 e 𝑏 são elementos distintos a 𝑎 b 𝑎 𝑏 c 20 Você pode concluir que 𝐴 𝐵 se 𝐴 e 𝐵 são dois conjuntos com o mesmo conjunto de partes 21 Quantos elementos cada um dos conjuntos abaixo têm se 𝑎 e 𝑏 são elementos distintos a 𝑃𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 b 𝑃 𝑎 𝑎 𝑎 c 𝑃𝑃 22 Determine se cada um dos conjuntos abaixo é o conjunto de partes de um conjunto em que 𝑎 e 𝑏 são elementos distintos a b 𝑎 c 𝑎 𝑎 23 Considere 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝐵 𝑦 𝑧 Encontre a 𝐴 𝐵 b 𝐵 𝐴 24 Qual o produto cartesiano de 𝐴 𝐵 em que 𝐴 é o conjunto de cursos oferecidos pelo departamento de matemática em uma universidade e 𝐵 o conjunto de professores de matemática nessa universidade 25 Qual o produto cartesiano de 𝐴 𝐵 𝐶 em que 𝐴 é o conjunto de todas as empresas aéreas e 𝐵 e 𝐶 são o conjunto de todas as cidades dos Estados Unidos 26 Suponha que 𝐴 𝐵 em que 𝐴 e 𝐵 são conjuntos O que você pode concluir 27 Considere 𝐴 como um conjunto Mostre que 𝐴 𝐴 28 Considere 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝐵 𝑥 𝑦 e 𝐶 0 1 Encontre a 𝐴 𝐵 𝐶 b 𝐶 𝐵 𝐴 c 𝐶 𝐴 𝐵 d 𝐵 𝐵 𝐵 29 Quantos elementos diferentes 𝐴 𝐵 tem se 𝐴 tem 𝑚 elementos e 𝐵 𝑛 elementos 30 Mostre que 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 em que 𝐴 e 𝐵 são conjuntos não vazios a menos que 𝐴 𝐵 31 Explique por que 𝐴 𝐵 𝐶 e 𝐴 𝐵 𝐶 não são iguais 32 Explique por que 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 e 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 não são iguais 33 Transcreva cada uma das quantificações abaixo em português e determine seu valorverdade a x 𝑅 x² 1 b x 𝑍 x² 2 c x 𝑍 x² 0 d x 𝑅 x² x 34 Transcreva cada uma das quantificações abaixo em português e determine seu valorverdade a x 𝑅 x³ 1 b x 𝑍 x 1 x c x 𝑍 x 1 𝑍 d x 𝑍 x² 𝑍 35 Encontre o conjuntoverdade de cada um dos predicados abaixo em que o domínio é o conjunto dos números inteiros a 𝑃𝑥 x² 3 b 𝑄𝑥 x² x c 𝑅𝑥 2x 1 0 36 Encontre o conjuntoverdade de cada um dos predicados abaixo em que o domínio é o conjunto dos números inteiros a 𝑃𝑥 x² 1 b 𝑄𝑥 x² 2 c 𝑅𝑥 x x² 37 Para pares ordenados serem bem definidos precisamos da propriedade de igualdade que diz que dois pares ordenados são iguais se e somente se os primeiros elementos dos pares forem iguais e os segundos elementos também Surpreendentemente em vez de o par ordenado ser tomado como um conceito primitivo podemos construir pares ordenados usando noções básicas da teoria dos conjuntos Mostre que se nós definirmos o par ordenado 𝑎 𝑏 como 𝑎 𝑎 𝑏 então 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 se e somente se 𝑎 𝑐 e 𝑏 𝑑 Dica