Resolver Exercícios

Considere as relações R₁ 1 1 2 2 1 2 2 1 e R₂ 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 1 3 É verdade que Escolha uma opção a R₁ é simétrica e transitiva R₂ não é transitiva b R₁ é simétrica e transitiva R₂ é simétrica c R₁ é reflexiva e transitiva R₂ é simétrica d R₁ é reflexiva simétrica e transitiva R₂ é simétrica e transitiva e R₁ é reflexiva simétrica e transitiva R₂ é reflexiva e transitiva Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto dos números naturais e o subconjunto dos números naturais pares I O conjunto P 2 4 6 dos números naturais pares é enumerável II Não existe uma bijeção f N P III f N P dada por fn 2n é uma bijeção entre N e P IV nP nN É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e II b I e III c I e IV d II e IV e II e III Considere a proposição a seguir e sua demonstração Proposição Se a b c Z são tais que ab e ac então ab c Demonstração Como ab e A existem k₁ k₂ Z tais que B e c ak₂ Portanto b c ak₁ ak₂ C Ou seja ab c Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A a c B b ak₁ e C ak₁k₂ b A c a B b ak₁ e C ak₁ k₂ c A a c B b ak₁ e C ak₁ k₂ d A a c B b ak₁ e C ak₁ k₂ e A b ak₁ B ak₁ k₂ e C a c Considere a seguinte proposição e sua demonstração Proposição Sejam m N e a b c d Z tais que a b mod m e c d mod m então ac bd mod m Demonstração Como a b mod m e c d mod m por definição existem k₁ k₂ Z tais que A mk₁ e c d mk₂ Então a mk₁ b e c mk₂ d Assim ac B mk₁mk₂ mk₁d bmk₂ bd Portanto ac bd C Ou seja ac bd mod m Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a A a b B mk₁ bmk₂ d e C mmk₁k₂ k₁d bk₂ b A a b B mk₁ bmk₂ d e C mk₁k₂ k₁d bk₂ c A ab B mk₁ bmk₂ d e C mmk₁k₂ k₁d bk₂ d A ab B mk₁ bmk₂ d e C mk₁k₂ k₁d bk₂ e A a b B mk₁ bmk₂ d e C mmk₁k₂ k₁d bk₂ O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos da forma pq em que p q Z com q 0 Sobre o conjunto dos números racionais considere as seguintes afirmações I O conjunto dos números racionais possui cardinalidade infinita II Devido ao fato de N Q III nN É correto afirmar que Escolha uma opção a I não é verdadeira mas III é uma afirmação verdadeira b I não é verdadeira II é uma justificativa correta para I e III é falsa c I é verdadeira e II e III são justificativas corretas para I d I é verdadeira e II não é uma justificativa correta para I e I é verdadeira II não é uma justificativa correta para I e III é falsa Considere a seguinte proposição e sua demonstração Proposição Se a b c Z são tais que a bq r c a e c b então c r Demonstração Como A e c b existem k1 k2 Z tais que a ck1 e b ck2 então a bq r ck1 B r ck1 ck2q r C Ou seja c r Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a A c a B ck2q a e C ck1 k2b b A c a B ck2q r e C ck1 k2q c A c a B ck1q r e C ck1 k2q d A c a B ck2q r e C ck1 k2q e A c a B ck2q r e C ck1 k2q Um conjunto pode ser descrito como uma coleção de objetos Considere as seguintes afirmações sobre conjuntos I Chamamos os objetos de um conjunto qualquer de elementos do conjunto II A 1 1 2 3 representa um conjunto III Se A x x 2k² k em que k Z então 0 é um elemento de A IV Se A x x 2k² k em que k Z então 1 é um elemento de A É correto o que se afirma em Escolha uma opção a I e III b I e IV c III e IV d II e III e II e IV Considere a relação R x y 2x y 5 definida no conjunto dos números naturais e as seguintes afirmações I nR II R¹ x y 2x y 5 III nDomR¹ DomR IV nR¹ 2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e III b I e III c I e IV d I e II e III e IV Chamamos o número de elementos de um conjunto A de cardinalidade de A e nesse caso o denotamos por nA Sobre a cardinalidade de um conjunto considere as seguintes afirmações I A cardinalidade de um conjunto é sempre finita II Se A 2 4 6 8 e B x Z x 2k 1 k N0 e x 8 então nA nB III Se A números inteiros pares e B números inteiros ímpares então nA nB IV Se A x N x divide 20 e divide 15 então nA 2 É correto o que se afirma em Escolha uma opção a II e IV b I e II c III e IV d I e IV e II e III Considere o teorema a seguir e sua demonstração Teorema Seja ℜ uma relação de equivalência sobre um conjunto A se aℜb então a b Demonstração Considere que aℜb Provaremos que a b mostrando que a b e b a Suponha que c a e assim aℜc Sabendo que aℜb e que ℜ é simétrica então A Como ℜ é B bℜc Assim c b Isso mostra que C A inclusão b a é análoga Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A cℜa B transitiva e C a b b A bℜa B reflexiva e C a b c A bℜa B transitiva e C a b d A cℜa B transitiva e C b a e A bℜa B reflexiva e C b a Quantos subconjuntos o conjunto 1 2 n possui Escolha uma opção a 2ⁿ b n² 3ⁿ c 3ⁿ d n² e n³ Um exame que não permite que as notas se repitam é aplicado em uma classe formada por 6 homens e 4 mulheres Considere as seguintes afirmações I Se os alunos fossem classificados pelas notas existiriam 10 classificações possíveis II Se homens e mulheres fossem classificados separadamente existiriam 4 6 classificações diferentes III Se os alunos fossem classificados pelas notas existiriam 10 4 6 classificações possíveis IV Se homens e mulheres fossem classificados separadamente existiriam 46 classificações diferentes É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e III b I e IV c II e IV d III e IV e I e II Considere a função f N 0 Z definida de maneira recursiva por f0 f1 1 fx 1 fx fx 1 e as seguintes afirmações I f2 é um número primo II f3 é um número negativo III f4 f3 IV f6 f5 1 É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e II b II e III c I e III d II e IV e I e IV Teorema O coeficiente de xp na expansão 1 x x² p é igual a n p 1 p Solução De fato temos que 1 x x² ⁿ 1 1 xⁿ A Aplicando o B temos que 1 xn p0 n pxp p0 n p1pxp Pela definição de coeficiente binomial generalizado temos que o coeficiente de xp é igual a n p1p nn 1n 2 n p 11p p n p 1n p 2 n 1nn 1 pn 1 C n p 1 p Assim podemos afirmar que Considere o teorema a seguir e sua demonstração Escolha uma opção a A 1 xⁿ B teorema de Pitágoras e C np pn1 b A 1 xn B teorema de Pitágoras e C np1 pn1 c A 1 xⁿ B teorema binomial e C np pn1 d A 1 xn B teorema binomial e C np1 pn1 As placas dos carros no Brasil eram formadas por uma sequência de sete dígitos em que os três primeiros eram letras do alfabeto e os quatro últimos eram números Foi necessário alterar o padrão das placas dos carros pois estávamos chegando na capacidade máxima de confecções de placas com esse padrão Quantas placas diferentes podemos produzir com o padrão descrito anteriormente Escolha uma opção a 170000000 b Não é possível determinar esse número c 260000000 d 175760000 e Podemos produzir infinitas placas Considere A 5 π 5 5 dada por π 21354 e as afirmações I π3 3 II π5 5 III π3 π1 2 IV π e π1 54213 são circulares equivalentes É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e II b I e III c II e III d II e IV e I e IV Seja f ℤ ℤ a função definida por fx x 1 e g ℤ ℤ dada por gx x 2 é verdade que Escolha uma opção a g fx não é uma função injetora e f gx é uma função bijetora b g fx é uma função injetora e f gx não é uma função injetora c g fx f gx e são bijetoras d g fx f gx e são bijetoras e g fx é uma função sobrejetora e f gx não é uma função sobrejetora Teorema Sejam n e k inteiros positivos então k0 até n 2k n k 3n Demonstração Utilizaremos o método da contagem dupla para contar duas vezes as sequências de comprimento n do alfabeto 0 1 2 Em outras palavras contaremos as n permutações do multiconjunto 0 1 2 em que há repetições infinitas dos elementos 0 1 e 2 Primeira maneira existem três possibilidades por elemento então existem 3ⁿ possibilidades no total Segunda maneira primeiro escolha o número de vezes k que o número 0 deve ser usado 0 k n Em seguida escolha as posições para esses elementos existem A possibilidades Finalmente escolha para cada um das n k posições restantes que devem ser 1 ou 2 ou seja existem 2n k escolhas Portanto no total há B possibilidades Ao inverter a ordem da soma isso é igual a k0 até n 2k n nk C Portanto k0 até n 2k n k 3n Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A n k B k0 até n 2nk n k e C k0 até n 2k n k b A k1 n B k0 até n 2nk h k e C k0 até n 2k n k c A n k B k0 até n 2nk n k e C k0 até n 2k1 n k d A k1 n B k0 até n 2k n k e C k0 até n 2k1 n k e A n k B k0 até n 2k n k e C k0 até n 2k n k Considere a função f ℕu0 ℕ definida de maneira recursiva por f0 1 fx 1 fx² fx 1 e as seguintes afirmações I f1 é um número primo II f2 é um número primo III f3 é um número par IV f4 é um número divisível por 4 É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a II e IV b I e IV c III e IV d I e II e I e III Considere a função f ℕu0 ℤ definida de maneira recursiva por f0 1 f1 2 fx 1 fx 3 fx 1 e as seguintes afirmações I f2 é um número primo II f3 é um número par III f4 é um número primo IV f5 17 É verdadeiro o que se afirma em Escolha uma opção a I e IV b III e IV c II e III d II e IV e I e II Resposta Letra E Resposta Letra B Considere a proposição a seguir e sua demonstração Proposição Se a b c Z são tais que a b e a c então a b c Demonstração Como a b e A existem k1 k2 Z tais que B e c ak2 Portanto b c ak1 ak2 C Ou seja a b c Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A a c B b ak1 e C ak1k2 b A c a B b ak1 e C ak1 k2 c A a c B b ak1 e C ak1 k2 d A a c B b ak1 e C ak1 k2 e A b ak1 B ak1 k2 e C a c Resposta Letra C Considere a seguinte proposição e sua demonstração Proposição Sejam m N e a b c d Z tais que a b mod m e c d mod m então ac bd mod m Demonstração Como a b mod m e c d mod m por definição existem k1 k2 Z tais que A mk1 e c d mk2 Então a mk1 b e c mk2 d Assim ac B mk1mk2 mk1d bmk2 bd Portanto ac bd C Ou seja ac bd mod m Desse modo podemos afirmar que Escolha uma opção a A a b B mk1 bmk2 d e C mmk1k2 k1d bk2 b A a b B mk1 bmk2 d e C mk1k2 k1d bk2 c A ab B mk1 bmk2 d e C mmk1k2 k1d bk2 d A ab B mk1 bmk2 d e C mk1k2 k1d bk2 e A a b B mk1 bmk2 d e C mmk1k2 k1d bk2 Resposta Letra A O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos da forma pq em que p q Z com q 0 Sobre o conjunto dos números racionais considere as seguintes afirmações I O conjunto dos números racionais possui cardinalidade infinita II Devido ao fato de N Q III nN É correto afirmar que Escolha uma opção a I não é verdadeira mas III é uma afirmação verdadeira b I não é verdadeira II é uma justificativa correta para I e III é falsa c I é verdadeira e II e III são justificativas corretas para I d I é verdadeira e II não é uma justificativa correta para I e I é verdadeira II não é uma justificativa correta para I e III é falsa Resposta Letra C Resposta Letra B Resposta Letra A Resposta Letra A Resposta Letra C Considere o teorema a seguir e sua demonstração Teorema Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A se aRb então a b Demonstração Considere que aRb Provaremos que a b mostrando que a b e b a Suponha que c a e assim aRc Sabendo que aRb e que R é simétrica então A Como R é B bRc Assim c b Isso mostra que C A inclusão b a é análoga Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A cRa B transitiva e C a b b A bRa B reflexiva e C a b c A bRa B transitiva e C a b d A cRa B transitiva e C b a e A bRa B reflexiva e C b a Resposta Letra C Quantos subconjuntos o conjunto 1 2 n possui Escolha uma opção a 2n b n2 3n c 3n d n2 e n3 Resposta Letra A Resposta Letra E Resposta Letra B Resposta Letra E A 1 x n B teorema binomial e C n p 1pn1 Resposta Letra D Resposta Verdadeiras III e IV Resposta Letra C Teorema Sejam n e k inteiros positivos então Σ k0 até n 2k n escolhe k 3n Demonstração Utilizaremos o método da contagem dupla para contar duas vezes as sequências de comprimento n do alfabeto 0 1 2 Em outras palavras contaremos as n permutações do multiconjunto 0 1 2 em que há repetições infinitas dos elementos 0 1 e 2 Primeira maneira existem três possibilidades por elemento então existem 3n possibilidades no total Segunda maneira primeiro escolha o número de vezes k que o número 0 deve ser usado 0 k n Em seguida escolha as posições para esses elementos existem A possibilidades Finalmente escolha para cada um das n k posições restantes que devem ser 1 ou 2 ou seja existem 2n k escolhas Portanto no total há B possibilidades Ao inverter a ordem da soma isso é igual a Σ k0 até n 2k n escolhe nk C Portanto Σ k0 até n 2k n escolhe k 3n Assim podemos afirmar que Escolha uma opção a A n escolhe k B Σ k0 até n 2nk n escolhe k e C Σ k0 até n 2k n escolhe k b A n escolhe k1 B Σ k0 até n 2nk n escolhe k e C Σ k0 até n 2k n escolhe k c A n escolhe k B Σ k0 até n 2nk n escolhe k e C Σ k0 até n 2k1 n escolhe k d A n escolhe k1 B Σ k0 até n 2k n escolhe k e C Σ k0 até n 2k1 n escolhe k e A n escolhe k B Σ k0 até n 2k n escolhe k e C Σ k0 até n 2k n escolhe k Resposta Letra A Resposta Letra D Resposta Letra B