Proposições e Definição de Conectivos

Matemática Discreta\nRevisão 1\nProf. Fábio Rocha da Silva\nEngenharia de Computação\nCEFET-MG\n14 de julho de 2020 Conetivos\n◼ Proposições introduzidas\n► proposições atômicas ou átomos\n► não podem ser decompostas em proposições mais simples\n◼ É possível construir proposições mais complexas\n► compondo proposições\n► usando operadores lógicos ou conectivos Proposições Compostas\n◼ Linux é sistema operacional e Java é uma linguagem de programação\n◼ Vou comprar um PC Game ou um MAC\n◼ Linux não é um software livre\n◼ Se chover chocolate, então todos estão aprovados em Matemática Discreta\nProposições compostas podem ser usadas para construir novas proposições compostas\n◼ A = B se e somente se (A ⊆ B e B ⊆ A) Cinco conectivos que serão estudados\n■ e (conjunção)\n■ ou (disjunção)\n■ não (negação)\n■ se-então (condicional)\n■ se-somente-se (bicondicional) Negaç\u00e3o\n■ Uma proposi\u00e7\u00e3o p ou \u00e9 verdadeira ou \u00e9 falsa\n■ Nega\u00e7\u00e3o de uma proposi\u00e7\u00e3o\n► introduzindo a palavra \"n\u00e3o\"\n► prefixando a proposi\u00e7\u00e3o por \"n\u00e3o \u00e9 fato que\"\n■ Exemplos\nProposi\u00e7\u00e3o\tNega\u00e7\u00e3o\nAcre \u00e9 um estado brasileiro\tAcre n\u00e3o \u00e9 um estado brasileiro\nLinux \u00e9 um software livre\tLinux n\u00e3o \u00e9 um software livre\n2 + 7 > 6\tN\u00e3o \u00e9 fato que 2 + 7 > 6 Nota\u00e7\u00e3o\n¬p ou ~ p\nl\u00ea-se: \"n\u00e3o p\"\nSem\u00e2ntica da nega\u00e7\u00e3o\n► se p \u00e9 verdadeira, ent\u00e3o ¬p \u00e9 falsa\n► se p \u00e9 falsa, ent\u00e3o ¬p \u00e9 verdadeira\n■ Tabela Verdade\np\t¬p\nV\tF\nF\tV Conjunção\n\nConjunção de duas proposições p e q\n\np ∧ q\n\n► lê-se: \"p e q\"\n\nReflete uma noção de simultaneidade\n► verdadeira, apenas quando p e q são simultaneamente verdadeiras\n► falsa, em qualquer outro caso\n\nTabela Verdade\n\np q p ∧ q\nV V V\nV F F\nF V F\nF F F Verdadeira\n\nLinux é sistema operacional e Java é linguagem de programação\n\nFalsa\n\nLinux é sistema operacional e Java é planilha eletrônica\nLinux é editor de textos e Java é linguagem de programação\nLinux é editor de textos e Java é planilha eletrônica Exercício\n\nSuponha que p e q são respectivamente V e F. Qual o Valor lógico de:\na. p ∧ ¬q\nb. ¬p ∧ q\nc. ¬p ∧ ¬q Disjunção\n\nDisjunção de duas proposições p e q\n\np ∨ q\n\nlê-se: \"p ou q\"\n\nReflete uma noção de \"pelo menos uma\"\nverdadeira, quando pelo menos uma das proposições é verdadeira\nfalsa, somente quando simultaneamente p e q são falsas\n\nTabela Verdade\n\np q p ∨ q\nV V V\nV F V\nF V V\nF F F Verdadeira\n\nLinux é sistema operacional ou Java é linguagem de programação\nLinux é sistema operacional ou Java é planilha eletrônica\nLinux é editor de textos ou Java é linguagem de programação\n\nFalsa\n\nLinux é editor de textos ou Java é planilha eletrônica Exercício\n\nSuponha que p e q são respectivamente V e F. Valor lógico?\n\n1. p ∨ ¬q\n2. ¬p ∨ ¬q\n3. p ∧ (¬p ∨ q) Condição\n\n■ Condição de duas proposições p e q\n\np → q\n\n► lê-se: \"se p então q\"\n\n■ Reflete a noção\n► partir de uma premissa p verdadeira\n► obrigatoriamente deve-se chegar a uma conclusão q verdadeira\n► para que p → q seja verdadeira\n\n■ Entretanto, partindo de uma premissa falsa\n► qualquer conclusão pode ser considerada Portanto p → q é\n► falsa, quando p é verdadeira e q é falsa\n► verdadeira, caso contrário\n\n■ Tabela Verdade\n\n p q p → q\n V V V\n V F F\n F V V\n F F V Condição\n\n■ Verdadeira\n► se Linux é sistema operacional então Java é linguagem de programação\n► se Linux é editor de textos então Java é linguagem de programação\n► se Linux é editor de textos então Java é planilha eletrônica\n\n■ Falsa\n► se Linux é sistema operacional então Java é planilha eletrônica Exercícios\n\n1. Determine o Valor verdade de p, sabendo que\n► q é Falso e p → q é Falso\n► q é Falso e q → p é Verdadeiro\n\n2. Determine o Valor verdade de p e de q, sabendo que\n► p → q é Verdadeiro e p ∧ q é Falso\n► p → q é Verdadeiro e p ∨ q é Falso Bicondição\n\nBicondição de duas proposições p e q\np ↔ q\n\n► lê-se: “p se e somente se q”\n\nReflete a noção de condição “nos dois sentidos”\n► considera simultaneamente\n► ida: p é premissa e q é conclusão\n► volta: q é premissa e p é conclusão Portanto p ↔ q é:\n► verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas\n► falsa, quando p e q possuem valor verdade distintos\n\nTabela Verdade:\n\np q p ↔ q\nV V V\nV F F\nF V F\nF F V Exemplo\n\n■ Verdadeira\n► Linux é sistema operacional se e somente se é linguagem de progr.\n► Linux é editor de textos se e somente se Java é planilha eletrônica\n\n■ Falsa\n► Linux é sistema operacional se e somente se Java é planilha eletrônica\n► Linux é editor de textos se e somente se Java é linguagem de programação Exercício\n\n1. Determine o Valor verdadeiro de p, sabendo que:\n► q é Verdadeira e p ↔ q é Falsa\n► q é Falsa e q ↔ p é Verdadeira\n\n2. Determine o Valor verdadeiro de p e de q, sabendo que\n► p ↔ q é Verdadeiro e p ∧ q é Verdadeiro\n► p ↔ q é Verdadeiro e p ∨ q é Verdadeiro\n► p ↔ q é Falso e ¬p ∨ q é Verdadeiro Fórmulas\n\n■ Suponha p, q e r são sentenças variáveis\n► valores verdade constantes V e F\n► qualquer proposição\n► p, q e r\n\n► ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q\n► p V (¬q)\n► (p ∧ ¬q) → F\n► ¬(p ∧ q) ↔ (¬p V ¬q)\n► p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r) ■ Precedência entre os conectivos\n► reduzir os parênteses\n► simplificar visualmente\n\n■ Ordem de precedência entre os conectivos\n► entre parênteses, dos mais internos para os mais externos\n► negação ¬\n► conjunção ∧ e disjunção ∨\n► condição →\n► bicondição ↔