Exercicios Resolvidos Calculo de Integrais Duplas e Coordenadas Polares

Pergunta 1 Calcule o volume do sólido dado abaixo através de uma integral dupla e faça um esboço do mesmo R 3 dA R x y 0 x 4 1 y 3 Pergunta 2 Calcule a integral 03 12 2xy ey² dydx e registre a resposta em forma de número decimal com duas casas após a vírgula Ao utilizar a regra da substituição na resolução apresente u e du Pergunta 3 Seja R a região dada na figura abaixo Preencha as lacunas com os extremos de integração que faltam a R fx y dA fxy dydx b R fx y dA fxy dxdy Pergunta 4 Calcule o volume do sólido em que R é a região triangular do primeiro quadrante limitada por 3x y 6 e pelos eixos coordenados e cuja altura do sólido é dada pelo plano z x Registre a resposta em forma de número decimal com duas casas após a vírgula Pergunta 5 Relacione as integrais da coluna da esquerda com aquelas apresentadas em coordenadas polares na coluna da direita Registre na lacuna a ordem das letras obtidas nesta relação por exemplo ACDB A 11 1x²0 x² y² dy dx 3π2π2 10 1 r² r dr dθ B 01 1x²1 x² y² dy dx 20 10 r² r dr dθ C 11 1y²1 x² y² dx dy 10 10 r² r dr dθ D 10 1x²0 x² y² dy dx π20 10 r² r dr dθ Pergunta 6 Calcule em coordenadas polares R x² y² dA onde R é a região do plano xy delimitada por x² y² 1 e x² y² 9 Apresente o resultado com duas casas decimais 1 Temos R 3 dA 13 04 3 dx dy 3 13 dy 04 dx 3 3 1 4 0 3 3 1 4 3 4 4 48 2 Se u y² du 2y dy assim 03 12 2xy ey² dy dx 03 12 x ey² 2y dy dx 03 x eu du dx 03 x eu dx y2 y1 03 x e4 e1 dx 03 x e4 e1 dx e1 e4 03 x dx e1 e4 x²2 x3 x0 e1 e4 3² 0²2 e1 e4 92 157 a R fxydA 04 x2x fxy dy dx b Temos y x x y2 y x2 x 2y R fxydA 02 y22y fxy dx dy Temos que x0 30 y 6 y6 y0 3x 0 6 3x6 x2 de modo que R é y 6 0 2 x ou seja como 3x y 6 y 6 3x então R xy R2 0 x 2 0 y 6 3x logo o volume será V 02 06 3x x dy dx 02 x6 3x 0 dx V 02 x12 6 3x dx 02 6 x12 3 x32 dx V 6 2323 3 2525 x0x2 226 x3 25 3 x5 x0x2 V 4 23 65 25 4 03 65 05 V 422 65 42 82 2425 V 402 2425 V 1625 453 Em coordenadas polares x r cosθ y r senθ x2 y2 r2 cos2θ r2 sen2θ r2 cos2θ sen2θ r2 dy dx r dr dθ A y 1 x2 metade superior da circunferência de 1 x 1 raio 1 e centro na origem 0 r 1 0 θ π 0π 01 r2 r dr dθ B 1 x2 y 1 x2 metades inferior e superior da circunferência de raio 1 e centro na origem 1 x 0 metade à esquerda π23π2 01 r2 r dr dθ C 1 y2 x 1 y2 metade à esquerda e à direita da circ de raio 1 e centro na origem 1 y 1 tomase todo o diâmetro vertical r 01 θ 0 2π 02π 01 r2 r dr dθ