Exercícios Resolvidos de Cálculo: Funções, Limites, Derivadas e Aplicações

1 Dada fx lnx3 1 determine a o domínio de f b a imagem de f c as raízes de f se existirem d f0 se existir e limx fx f limx fx g as assíntotas de f se existirem h use as informações dos itens ag para esboçar o gráfico de f 2 Dada fx determine fx cos2x x 0 2x 2 x 0 a mostre que fx não é contínua em x 0 b esboce o gráfico de f 3 Faça as composições que se pedem com fx x44 gx 3x3 e hx ln4x a fghx b gfhx c ghfx d hfgx 4 Dada fx encontre f1 e calcule a derivada de f1 pela definição por limite a fx x 23 b fx 1 x22 5 Calcule a equação da reta tangente a fx no ponto a fa a fx e3cosx1 a π2 1 b fx x33 2x a 2 1 Temos fx lnx3 1 a A função está definida para x3 1 0 logo o domínio é D x R x 1 b A imagem da função logaritmo natural é dada pelo conjunto dos números reais Im R c Buscamos fx lnx3 1 0 Logo x3 1 1 ou x3 0 x 0 é a raiz de fx d f0 ln03 1 ln 1 0 e limx lnx3 1 limx lnx f limx lnx3 1 não existe pois o domínio de fx restringe os valores de x à x 1 g Como vimos nos itens e e f a função não possui assíntotas horizontais Como limx 1 lnx3 1 logo x 1 é uma assíntota vertical h Graph shows the function fx with a vertical asymptote at x 1 and passes through the origin 2 Temos fx cos2x x 0 2x 2 x 0 a Para fx ser contínua em x 0 uma condição é que limx 0 fx precisa ser igual à limx 0 fx Mas limx 0 fx limx 0 cos 2x 1 e limx 0 fx limx 0 2x 2 2 Logo limx 0 fx limx 0 fx e fx não é contínua b A função cos 2x oscila entre 1 e 1 e toca o eixo x em x nπ4 n 1 2 3 Além disso lim x fx e temos fx 0 se x 1 3 a Temos ghx 3 ln 4x 3 Logo fghx 3 ln 4x 34 4 81 4ln 4x 34 b Temos fhx ln4x4 4 Logo gfhx 3 ln4x4 4 3 6 ln4x4 6 c Temos hfx ln x4 Logo ghfx 3 ln x4 3 3 4ln x 3 3 2ln x 3 d Temos fgx 3 x 34 4 Logo hfgx ln 4 3 x 34 4 ln 81 x 34 4 a Uma maneira de calcular a inversa é Temos fx y x 2 3 Se fizermos x y x y 2 3 Resolvendo para y y 3x 2 f1x Temos ddx f1x lim Δx0 3x Δx 2 3x 2 Δx lim Δx0 3Δx Δx 3 b De modo análogo fx y 1 x2 2 Seja x y logo x 1 y2 2 y1 1 2x e y2 1 2x são as duas inversas Temos ddx f1 lim Δx0 1 2x 2Δx 1 2x Δx Multiplicando por 1 2x 2Δx 1 2x no numerador e denominador temos ddx f1 lim Δx0 x 2x 2Δx x 2x Δx 1 2x 2Δx 1 2x ddx f1 lim Δx0 2 1 2x 2Δx 1 2x 2 21 2x 1 1 2x Logo a derivada de y1 b11 sqrt12x é d b11dx 1sqrt12x Analogamente d y2dx d b01dx 1sqrt12x 5 a Temos fx e3cosx1 A equação da reta tangente é y ya faxa onde ya fa Temos fx 3 sinx1 e3 cosx1 Logo se a pi2 1 ya e3 cos pi2 1 fa 3 sin pi2 e3 cos pi2 3 Portanto a reta tangente é y 3 x pi2 1 1 y 3x 3pi2 2 b Temos fx x33 sqrt2x Aqui fx x2 1sqrt2x Logo se a 2 ya 83 2 143 e fa 4 12 92 Portanto a reta tangente é y 92 x 2 143 25x2 9 143 y 9x2 133