Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais: Soluções Detalhadas

1 a Sabendo que y 1x2 c é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y 2xy20 Encontre a solução de primeira ordem PVI consistindo nessa equação diferencial e na condição inicial dada Indique o maior intervalo I para o qual a solução é definida y12 4 b Use o fato de que x c1 cos t c2 sen t é uma família a dois parâmetros de soluções de x x0 Encontre uma solução para a PVI de segunda ordem consistindo nesta equação diferencial e nas condições iniciais dadas i x0 1 x08 ii xπ4 2 xπ4 22 Resolva as equações separáveis dadas abaixo 1 dydx cos 5x 2 dydx x2 1 3 ex y dydx ey e2xy 4 sen3x dx 2y cos3 3x dy 0 5 dQdt kQ 70 6 dydx xy 2y x 2xy 3y x 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Exercícios 1 Resolva as equações diferenciais a y 2y 2ex b xy 2y x2 2 Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada a x2 y xy 1 x 0 y1 2 b 2xy y 6x x 0 y4 20 3 Resolva as equações diferenciais lineares de 1ª ordem abaixo c xy y 4 0 e y y tgx sen 2x i y 3y e3x Obrigado por me escolher Dei o meu melhor e espero que tenha lhe ajudado 1R a Dada a EDO y 2x y2 0 temos yx 1x2 C como família de soluções Ora para acharmos uma única solução basta aplicarmos y12 4 4 1122 C 4 14 C 1 14 4C 1 C 12 yx 1x2 12 Assim o maior intervalo para yx é quando x2 12 0 x 22 ou seja I R 22 22 Brasil b Bem aqui é a mesma situação entretanto derivamos a família de soluções xt C1 cost C2 sent xt C1 sent C2 cost i x0 1 x0 8 1 C1 cos0 C2 sen0 8 C1 sen0 C2 cos0 1 C1 8 C2 C1 1 C2 8 yx cost 8 sent ii xπ4 2 xπ4 22 2 C1 cosπ4 C2 senπ4 22 C1 senπ4 C2 cosπ4 2 2 C1 C22 2 2 C1 C22 22 2 C1 2 C22 22 2 C1 C22 2 C1 C2 4 C1 C2 Somando ambas as equações 6 2 C2 C2 3 i 2 C1 3 C1 1 yx cost 3 sent 3R 1 dYdx cos5 x dY cos5 x dx Integrando dY cos5 x dx yx sen5 x5 c 2 dYdx x2 1 dY x2 1 dx dY x2 1 dx Brasil yx x3 3 x c 3 ex y dYdx ey e2 x y ex y y ey 1 e2 x y y 1 e2 x ey ex y ey dY ex e3 x dx µ yy dµ dY y ey ey dY ex 13 e3 x c ey y 1 13 3 ex e3 x c y sen 3 x dx 2 y cos3 3 x dY 0 2 y dY cos3 3 x sen3 x dx 2 y dY tg3 x cos2 3 x dx Substituição u tg 3 x du 3 sec2 3 x dx dx du 3 sec2 3 x y2 u sec2 3 x dU 3 sec2 3 x y2 1 3 u dU y2 16 u2 c y2 16 tg2 3 x c Como sec2 3 x tg2 3 x 1 tg2 3 x sec2 3 x 1 y2 16 sec2 3 x 1 y2 16 sec2 3 x d yx sqrt16 sec2 3 x D Brasil 5 dQ k Q 70 dQdt k Q 70 1Q70 dQ k dt lnQ 70 k t c Q 70 ek t c Q ec ek t 70 Considerando D ec temos Qt D ek t 70 6 dYdx x y 2 y x 2x y 3 y x 3 dYdx y x 2 x 2y x 3 x 3 dYdx y 1 x 2y 1 x 3 y 1y 1 dY x 2x 3 dx y 1 1 1y 1 dY x 2 3 3x 3 dx y 1y 1 2y 1 dY x 3x 3 5x 3 dx y 2 lny 1 x 5 lnx 3 c Resposta Final 1R a dY 2 y 2 ex utilizando o fator integrante µx e2 dx µx e2 x Y 2 y e2 x 2 ex e2 x y e2 x 2 e2 x y 2 e3 x y e2 x y e2 x 2 e3 x y e2 x 2 e3 x y e2 x dx 2 e3 x dx y e2 x 23 e3 x c yx 23 ex c e2 x Brasil b x y 2y x2 y 2 x y x μx e 2x dx μx e2 lnx μx eln1x2 μx 1x2 y 2 y x 1x2 x 1x2 y 1x2 2 y x3 1x y 1x2 1x y 1x2 lnx C yx C x2 x2 lnx 2R a x2 y x y 1 y 1x y 1x2 μx e1x dx μx elnx μx x y 1x y x 1x x y x y 1 y x 1x Integrando y x lnx C yx lnx Cx Aplicando y1 2 2 ln1 C C 2 yx lnx 2x b 2x y y 6x y 12x y 3 μx e12x dx μx e12 lnx μx x y x 3 x y x 3 x12 1 12 1 C y x 2 x32 C y 2 x C x Aplicando y4 20 20 2 4 C 4 C 12 C 24 yx 2 x 24 x Brasil 3R a x y y 4 0 x y y 4 y 1x y 4x μx e1x dx μx elnx μx x y x 4 x y x 4 y x 4 x C y Cx 4 d y tg x y sen2x μx etg x dx senx dx μ cosx μ dμ μ 1μ dμ lnμ lncosx μx elncosx μx elnsecx μx secx y secx sen2x secx y secx 2 senx cosx cosx Integrando y secx 2 cosx C yx 2 cos2x C cosx 1 y 3y e3x μx e3 dx μx e3x y e3x e3x e3x y e3x 1 y e3x x C yx x e3x C e3x