Matematica

4 Resolva a questão a seguir Determine a área da região limitada pela curva y x² 1 e o eixo x y 0 I 23 II 43 III 13 IV 1 A Somente a opção I está correta B Somente a opção II está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção III está correta Assinale a alternativa CORRETA 10 O cálculo de área de figuras irregulares também pode ser analisado pelo conceito de integral Abaixo temos o gráfico de uma região limitada pelas funções fx x² 4 e fx x 2 de x 0 até x 1 A área da região pintada é I 117 II 65 III 614 IV 125 A Somente a opção II está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção IV está correta Assinale a alternativa CORRETA LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO Questão 1 Queremos calcular a área entre as curvas y x² e y 2x Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x² 2x x² 2x 0 xx 2 0 x 0 x 2 Logo as curvas se intersectam em x 0 e x 2 Analisando as curvas temos x² 2x x² 2x 0 xx 2 0 x 0 x 2 Logo no intervalo 02 temos que 2x x² Desse modo a área da região é dada por A 0² 2x x² dx x² x³30² 2² 2³3 0² 0³3 4 83 123 83 43 Portanto a área da região é 43 Graficamente temos Logo a alternativa correta é a Somente a opção I está correta Questão 2 Queremos calcular a área entre as curvas y x2 x 6 e y x 3 no intervalo 03 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x2 x 6 x 3 x2 9 0 x2 9 x 3 Logo as curvas se intersectam em x 3 e x 3 Analisando as curvas temos x2 x 6 x 3 x2 9 0 x2 9 3 x 3 Logo no intervalo 3 3 temos que x2 x 6 x 3 Desse modo a área da região é dada por A ₀³ x² x 6 x 3 dx ₀³ x² 9 dx x³3 9x₀³ 3³3 93 0³3 90 9 27 18 Portanto a área da região é 18 Graficamente temos Logo a alternativa correta é a A opção II está correta Questão 3 Queremos calcular a área entre as curvas y 9 x2 e y 0 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 9 x2 0 x2 9 x 3 Logo as curvas se intersectam em x 3 e x 3 Analisando as curvas temos 9 x2 0 x2 9 3 x 3 Logo no intervalo 3 3 temos que 9 x2 0 Desse modo a área da região é dada por A ³³ 9 x² dx 9x x³3³³ 93 3³3 93 3³3 27 9 27 9 18 18 36 Portanto a área da região é 36 Graficamente temos Logo a alternativa correta é a Área igual a 36 ua Questão 4 Queremos calcular a área entre as curvas y x² 1 e y 0 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x² 1 0 x² 1 x 1 Logo as curvas se intersectam em x 1 e x 1 Analisando as curvas temos x² 1 0 x² 1 x 1 x 1 Logo no intervalo 1 1 temos que x² 1 0 Desse modo a área da região é dada por A ¹¹ x² 1 dx ¹¹ 1 x² dx x x³3¹¹ 1 1³3 1 1³3 1 13 1 13 23 23 43 Portanto a área da região é 43 Graficamente temos Logo a alternativa correta é b Somente a opção II está correta Questão 6 Dado dfdt 5 001t temos que ft ₀ᵗ 5 001t dt 5t 0005t²₀ᵗ 5t 0005t² 5 0 0005 0² 5t 0005t² Logo a quantidade de gás consumida em t anos é dada por ft 5t 0005t² Determinando o tempo para que toda a quantide de gás seja consumida temos ft 1200 5t0005t² 1200 0005t² 5t 1200 0 5t² 5000t 1200000 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos Δ 5000² 4 5 1200000 25000000 24000000 49000000 t 5000 49000000 10 5000 7000 10 500 700 t₁ 500 700 200 t₂ 500 700 1200 Como t 0 então t 200 Logo o tempo necessário para que toda a quantide de gás seja consumida é de 200 anos Para t 80 temos f80 5 80 0005 80² 400 0005 6400 400 32 432 Logo daqui a 80 anos ainda restarão 1200 432 768 bilhões de metros cúbicos de gás Portanto a alternativa correta é b Daqui a 80 anos ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás Questão 5 Quereoms calcular a área entre as curvas y x y 3x e y 4 x Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x 3x x 0 x 4 x 2x 4 x 2 3x 4 x 4x 4 x 1 Logo as curvas se intersectam duas a duas em x 0 x 1 e x 2 Analisando as curvas temos 3x x 2x 0 x 0 4 x x 2x 4 x 2 Logo no intervalo 0 1 temos que 3x x e no intervalo 1 2 temos que 4 x x Desse modo a área da região é dada por A ₀¹ 3x x dx ₁² 4 x x dx ₀¹ 2x dx ₁² 4 2x dx x²₀¹ 4x x²₁² 1² 0² 4 2 2² 4 1 1² 1 8 4 4 1 1 1 2 Portanto a área da região é 2 Graficamente temos graph Logo a alternativa correta é b Área igual a 2 ua Questão 7 Dada a função Txy 16x² 32x 40y² Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos Tx x 16x² 32x 40y² 32x 32 Ty y 16x² 32x 40y² 80y Para determinar os pontos críticos devemos verificar onde as derivadas parciais são nulas ou seja 32x 32 0 80y 0 32x 32 80y 0 x 1 y 0 Logo o ponto crítico é 1 0 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem temos ²Tx² x 32x 32 32 ²Ty² y 80y 80 ²Txy y 32x 32 0 Para determinar a natureza do ponto crítico devemos calcular o determinante da matriz Hessiana de Txy no ponto crítico 1 0 ou seja D Txx Txy Tyx Tyy 32 0 0 80 32 80 0 0 2560 D1 0 2560 0 Txx1 0 32 0 Como D1 0 0 e Txx1 0 0 então o ponto crítico 1 0 é um ponto de mínimo Portanto a alternativa correta é d A função temperatura tem um ponto de mínimo Questão 9 Queremos calcular a área entre as curvas y cosx e y 0 no intervalo 0 π2 Analisando as curvas temos cosx 0 0 x π2 Logo no intervalo 0 π2 temos que cosx 0 Desse modo a área da região é dada por A 0π2 cosx dx senx 0π2 senπ2 sen0 1 0 1 Portanto a área da região é 1 Graficamente temos Logo a alternativa correta é a Somente a opção I está correta Questão 10 Queremos calcular a área entre as curvas y x² 4 e y x 2 no intervalo 0 1 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x² 4 x 2 x² x 2 0 x 1x 2 0 x 1 x 2 Logo as curvas se intersectam em x 1 e x 2 Analisando as curvas temos x² 4 x 2 x² x 2 0 x 1x 2 0 2 x 1 Logo no intervalo 0 1 temos que x² 4 x 2 Desse modo a área da região é dada por A 01 x² 4 x 2 dx 01 x² x 2 dx x³3 x²2 2x 0¹ 1³3 1²2 2 1 0³3 0²2 2 0 13 12 2 0 0 0 13 12 2 26 36 126 76 Portanto a área da região é 76 117 Graficamente temos Logo a alternativa correta é b Somente a opção I está correta Questão 8 Queremos calcular a área entre as curvas y 2x e y 0 no intervalo 1 4 Analisando as curvas temos 2x 0 x 0 Logo no intervalo 1 4 temos que 2x 0 Desse modo a área da região é dada por A 14 2x dx x² 1⁴ 4² 1² 16 1 15 Portanto a área da região é 15 Graficamente temos Logo a alternativa correta é d Área igual a 15 ua Gabarito Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta a a a b b b d d a b 9 No cálculo a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física Resolva a questão a seguir Calcule a área da região limitada pela curva y cos x pelo eixo x e pelas retas x 0 e x π2 I 1 III 12 II 21 IV 14 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção III está correta 8 No cálculo a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física Calcule a área limitada por y 2x o eixo x e as retas x 1 e x 4 através da integração A Área 16 B Área 12 C Área 10 D Área 15 A O gás nestas situações não terá fim B Daqui a 80 anos ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás C Com 100 anos de utilização a reserva de gás se extinguirá D A reserva de gás durará mais de 2000 anos 7 A função Txy 16x² 32x 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis assinale a alternativa CORRETA A A função temperatura T tem um ponto sela B A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo C A função temperatura T tem um ponto de máximo D A função temperatura T tem um ponto de mínimo Considerando que a função ft calcula a quantidade de gás consumida em uma quantidade t de anos calculados em bilhões de m³ Sabese também que em termos de variação da utilização consumo podemos utilizar o modelo dado por dfdt 5 001 t Suponhamos também que a quantidade inicial de gás presente reserva de gás é de 1200 bilhões de metros cúbicos e que o gás consumido não é reposto Lembrando que temos que ft dfdt dt Assinale a opção correta A O gás nestas situações não terá fim B Daqui a 80 anos ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás C Com 100 anos de utilização a reserva de gás se extinguirá Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes com a utilização da geometria clássica eram inacessíveis Sendo assim determine a área entre as curvas y x² e y 2x e analise as opções a seguir I A área entre as curvas é 43 II A área entre as curvas é 83 III A área entre as curvas é 16 IV A área entre as curvas é 154 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção II está correta 2 Uma das aplicações clássicas dentro da análise de integração é o cálculo de área Neste sentido leia a questão a seguir Abaixo temos o gráfico de uma região limitada pelas funções fx x² x 6 e fx x 3 de x 0 até x 3 A área da região pintada é I 20 III 203 II 18 IV 154 Assinale a alternativa CORRETA A A opção II está correta B A opção III está correta C A opção I está correta Calcule a área da região limitada pelas curvas y 9 x² e y 0 Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse resultado A Área igual a 36 ua B Área igual a 32 ua C Área igual a 24 ua D Área igual a 27 ua As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral Desse modo calcule a área da região limitada pelas funções y x y 3x e x y 4 e assinale a alternativa CORRETA A Área 0 B Área 2 C Área 1 D Área 3