Calculo de Volumes e Massas em Coordenadas Esfericas e Cilindricas

3 Coordenadas esféricas Determine o volume obtido da esfera ρ β quando a seccionamos pelo cone Ø α Veja a figura abaixo 4 Coordenadas cilíndricas Determine o volume delimitado na parte inferior pelo paraboloide z x² y² e na parte superior pelo plano z 2y 6 Encontre a coordenada z do centro de massa do primeiro octante w da esfera unitária supondo uma densidade de massa δx y z y e massa total MT π16 Obs Considere a integral em coordenadas cartesianas 01 01x² 01x²y² z δx y z dzdydx 7 Encontre a massa de uma esfera de raio 2 centrada na origem com densidade de massa y² Questão 3 O volume é dado por V dV 0 2π 0 α 0 β r 2sinψ drdψdθ 2π 0 α 0 β r 2sinψ drdψ 2π 0 α sinψ 0 β r 2drdψ 2π 0 α sinψ r 3 3 0 β dψ 2π β 3 3 0 α sinψdψ 2π β 3 3 cosψ 0 α 2π β 3 3 cosα cos0 21cosα 3 π β 3 Questão 4 Note que a intersecção ocorre quando x 2 y 22 y x 2 y 22 y0 x 2 y 22 y11 x 2 y1 21 Assim convém adotar a seguinte transformação xr cosθ y1r sinθ dxdyrdrdθ x 2 y1 2r 2 Assim a integral fica V dV 0 2π 0 1 x2y2 2 y d zr drdθ 0 2π 0 1 2 yx 2y 2 rdrdθ 0 2π 0 1 x 2 y 22 yrdrdθ 0 2π 0 1 x 2 y 22 y11rdrdθ 0 2π 0 1 r 21rdrdθ 2π 0 1 r 21 rdr 2π 0 1 r 3rdr 2π r 4 4 r 2 2 0 1 2π 1 4 1 2 π 1 21 π 1 2 1 π 2 Questão 6 Temos a seguinte integral I 0 1 0 1x 2 0 1x 2y 2 zy dzdyd x Podemos resolver sem nem mesmo passar para coordenadas cilíndricas pois é uma integral simples I 0 1 0 1x 2 y 0 1x 2y 2 zdzdydx I 0 1 0 1x 2 y z 2 2 0 1x 2y 2 dydx 1 2 0 1 0 1x 2 y 1x 2y 2 dydx 1 2 0 1 0 1x 2 y y x 2y 3 dydx 1 2 0 1 y 2 2 y 2 2 x 2 y 4 4 0 1x 2 dx 1 2 0 1 1x 2 2 1x 2 2 x 2 1x 2 2 4 dx 1 2 0 1 1x 2 2 x 2x 4 2 12 x 2x 4 4 dx 1 2 0 1 1x 2 2 x 4 2 1x 4 4 dx 1 2 0 1 22 x 2 4 2x 4 4 1x 4 4 dx 1 2 0 1 22 x 2x 4 4 1 4dx 1 2 0 1 12 x 2x 4 4 dx 1 8 0 1 12 x 2x 4 dx 1 8x2 3 x 3 x 5 5 0 1 1 812 3 11 5 1 8 1 3 1 5 1 8 8 15 1 15 Questão 7 Temos a seguinte integral I 2 2 4x 2 4x 2 4x 2 y 2 4x 2y 2 y 2dzdy dx Usando coordenadas esféricas temos xr sinψ cosθ yrsinψ sinθ zr cosψ dxdydzr 2sinψ drdψdθ x 2 y 2z 2r 2 Assim a integral fica I 0 2π 0 π 0 2 r sinψ sinθ 2r 2sinψ drdψdθ I 0 2π 0 π 0 2 sin 2θr 4sin 3ψ drdψdθ I 0 2π 0 π sin 3ψ sin 2θ 0 2 r 4drdψdθ 0 2π 0 π sin 3ψ sin 2θ r 5 5 0 2 dψdθ 32 5 0 2π 0 π sin 3ψsin 2θdψdθ 32 5 0 2π sin 2θ 0 π sin 3ψ dψdθ 32 5 0 2π 1cos2θ 2 0 π sin 2ψ sinψ dψdθ 32 5 0 2π 1cos2θ 2 0 π 1cos 2ψ sinψ dψdθ 16 5 θ1 2 sin2θ0 2π 0 π sinψsinψ cos 2ψ dψ 16 5 2π cosψ 1 3 cos 3ψ0 π 16 5 2π cos π 1 3 cos 3πcos 01 3 cos 30 16 5 2π 11 3 11 3 16 5 4 π 11 3 16 5 4 π 2 3 16 5 8 3 π 128 15 π Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado Questão 3 O volume é dado por 𝑉 𝑑𝑉 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 𝛽 0 𝑑𝜓 𝛼 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 𝛽 0 𝑑𝜓 𝛼 0 2𝜋 sin𝜓 𝑟2𝑑𝑟 𝛽 0 𝑑𝜓 𝛼 0 2𝜋 sin 𝜓 𝑟3 3 0 𝛽 𝑑𝜓 𝛼 0 2𝜋 𝛽3 3 sin 𝜓 𝑑𝜓 𝛼 0 2𝜋 𝛽3 3 cos 𝜓0 𝛼 2𝜋 𝛽3 3 cos 𝛼 cos 0 𝟐𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟑 𝝅𝜷𝟑 Questão 4 Note que a intersecção ocorre quando 𝑥2 𝑦2 2𝑦 𝑥2 𝑦2 2𝑦 0 𝑥2 𝑦2 2𝑦 1 1 𝑥2 𝑦 12 1 Assim convém adotar a seguinte transformação 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 1 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦 12 𝑟2 Assim a integral fica 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑧 2𝑦 𝑥2𝑦2 𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝑦 𝑥2 𝑦2𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑥2 𝑦2 2𝑦𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑥2 𝑦2 2𝑦 1 1𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟2 1𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 𝑟2 1𝑟𝑑𝑟 1 0 2𝜋 𝑟3 𝑟𝑑𝑟 1 0 2𝜋 𝑟4 4 𝑟2 2 0 1 2𝜋 1 4 1 2 𝜋 1 2 1 𝜋 1 2 1 𝝅 𝟐 Questão 6 Temos a seguinte integral 𝐼 𝑧𝑦𝑑𝑧 1𝑥2𝑦2 0 𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 Podemos resolver sem nem mesmo passar para coordenadas cilíndricas pois é uma integral simples 𝐼 𝑦 𝑧𝑑𝑧 1𝑥2𝑦2 0 𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑦 𝑧2 2 0 1𝑥2𝑦2 𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 1 2 𝑦1 𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 1 2 𝑦 𝑦𝑥2 𝑦3𝑑𝑦 1𝑥2 0 𝑑𝑥 1 0 1 2 𝑦2 2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦4 4 0 1𝑥2 𝑑𝑥 1 0 1 2 1 𝑥2 2 1 𝑥2 2 𝑥2 1 𝑥22 4 𝑑𝑥 1 0 1 2 1 𝑥2 2 𝑥2 𝑥4 2 1 2𝑥2 𝑥4 4 𝑑𝑥 1 0 1 2 1 𝑥2 2 𝑥4 2 1 𝑥4 4 𝑑𝑥 1 0 1 2 2 2𝑥2 4 2𝑥4 4 1 𝑥4 4 𝑑𝑥 1 0 1 2 2 2𝑥2 𝑥4 4 1 4 𝑑𝑥 1 0 1 2 1 2𝑥2 𝑥4 4 𝑑𝑥 1 0 1 8 1 2𝑥2 𝑥4𝑑𝑥 1 0 1 8 𝑥 2 3 𝑥3 𝑥5 5 0 1 1 8 1 2 3 1 1 5 1 8 1 3 1 5 1 8 8 15 𝟏 𝟏𝟓 Questão 7 Temos a seguinte integral 𝐼 𝑦2𝑑𝑧 4𝑥2𝑦2 4𝑥2𝑦2 𝑑𝑦 4𝑥2 4𝑥2 𝑑𝑥 2 2 Usando coordenadas esféricas temos 𝑥 𝑟 sin 𝜓 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜓 sin𝜃 𝑧 𝑟 cos 𝜓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 Assim a integral fica 𝐼 𝑟 sin 𝜓 sin 𝜃2𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 sin2 𝜃 𝑟4 sin3 𝜓 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 sin3 𝜓 sin2 𝜃 𝑟4𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 sin3 𝜓 sin2 𝜃 𝑟5 5 0 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 32 5 sin3 𝜓 sin2 𝜃 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 32 5 sin2 𝜃 sin3 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 32 5 1 cos 2𝜃 2 sin2 𝜓 sin 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 32 5 1 cos 2𝜃 2 1 cos2 𝜓 sin𝜓 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 16 5 𝜃 1 2 sin 2𝜃 0 2𝜋 sin𝜓 sin 𝜓 cos2 𝜓𝑑𝜓 𝜋 0 16 5 2𝜋 cos 𝜓 1 3 cos3 𝜓 0 𝜋 16 5 2𝜋 cos 𝜋 1 3 cos3 𝜋 cos 0 1 3 cos3 0 16 5 2𝜋 1 1 3 1 1 3 16 5 4𝜋 1 1 3 16 5 4𝜋 2 3 16 5 8 3 𝜋 𝟏𝟐𝟖 𝟏𝟓 𝝅 Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado