Lista 5 Cálculo III - Teoremas de Green Stokes e Gauss

CÁLCULO III LISTA 5 Teoremas de Green de Stokes e de Gauss Prof Dr Sergio A David Instruções a É de extrema importância a organização a legibilidade e a clareza na resolução dos exercícios b O alunoa deve resolver os 10 exercícios propostos para ser entregue via email endereçado à monitora da disciplina LorenaCeredaNardachione lorenacnuspbrEXCLUSIVAMENTE Tal monitora é a responsável pela primeira triagem no controle de entrega dos exercícios e está instruída a validálos ou não c Exercícios enviados ao email da monitora além do prazo estipulado não serão validados Portanto reforço que os exercícios devem chegar EXCLUSIVAMENTE no email lorenacnuspbr até o prazo máximo estipulado d Preferencialmente enviem os arquivos com os exercícios resolvidos no formato pdf e O prazo de entrega dos exercícios por parte dos alunos as é de até uma semana 7 dias a contar da disponibilização da lista de exercícios por email aos alunos as Portanto para a presente lista o prazo final será 26072021 f Em até 7 dias após o prazo final outra monitora Laila R A Alves Cruz lailacruzuspbr enviará na forma digitalizada pdf a solução detalhada gabarito dos 10 exercícios que foram propostos para a lista de email da turma sempre copiando o professor da disciplina nessas mensagens e g Não se esqueçam de colocar obrigatoriamente o seu nome completo número USP e principalmente a sua turma de Cálculo III EAD EAN ou EB tanto no documento lista de exercício a ser entregue quanto na caixa assunto do email lorenacnuspbr a ser enviado à monitora Entrega via email da monitora até no máximo 26072021 Enviar para lorenacnuspbr Nos exercícios 1 e 2 calcular a integral de linha por dois métodos a diretamente e b utilizando o Teorema de Green 1 𝐶 𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥²𝑦³𝑑𝑦 C é o triângulo com vértices 00 10 e 12 2 𝐶 𝑥𝑦²𝑑𝑥 𝑥³𝑑𝑦 C é o retângulo com vértices 00 20 23 e 03 3 Uma partícula inicialmente no ponto 20 se move ao longo do eixo x até 20 e então ao longo da semicircunferência 𝑦 𝑥² até o ponto inicial Utilizar o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de força 𝐅 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥3 3𝑥𝑦2 sobre a referida partícula 4 Determinar a o rotacional e b a divergência do campo vetorial 𝐅 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦𝑧𝐢 𝑥𝑦2𝑧𝐣 𝑥𝑦𝑧²𝐤 5 Calcular a integral 𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝐅 𝑑𝑆 para 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑥²𝑦³𝑧𝐢 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦𝑧𝐣 𝑥𝑦𝑧𝐤 em que S é a parte do cone 𝑦² 𝑥² 𝑧² que está entre os planos y0 e y3 orientado na direção positiva do eixo y 6 Se S é uma esfera e 𝐅 satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes mostrar que 𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝐅 𝑑𝑆 0 Dica considere que a esfera está centrada na origem e tem raio a 7 Usar o Teorema de Stokes para calcular a integral 𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝑭 𝑑𝑆 em que 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑦𝑧𝐢 𝑥𝑧𝐣 𝑥𝑦𝐤 e S é a parte da esfera 𝑥² 𝑦² 𝑧² 4 que está dentro do cilindro 𝑥² 𝑦² 1 e acima do plano xy 8 Determinar o fluxo de campo vetorial 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑧𝐢 𝑦𝐣 𝑥𝐤 sobre a esfera unitária 𝑥² 𝑦² 𝑧² 1 9 Usar o teorema da divergência para calcular a integral de superfície ou seja calcular o fluxo de 𝐅 através de S 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝐢 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝐣 𝑦𝑧2𝐤 em que S é a superfície da caixa delimitada pelos planos 𝑥 0 𝑥 1 𝑦 0 𝑦 1 𝑧 0 𝑒 𝑧 2 10 Verificar a validade do teorema da divergência para o campo vetorial dado por 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑥²𝐢 𝑥𝑦𝐣 𝑧𝐤 em que E é o solido delimitado pelo parabolóide 𝑧 4 𝑥² 𝑦² e pelo plano xy