Exercicios

EXERCÍCIO 01 Verifique se as funções cujos gráficos são apresentados a seguir são contínuas no intervalo 1 4 a b c d 02 Verifique se existe o limite L lim xa fx para cada um dos seguintes casos a fx 3x1 e a0 b fx 5xx2 1 e a5 c fx 5xx2 1 e a0 d fx cosx se x π senx se x π e aπ 03 Calcule os limites a lim x 2x 5x7 b lim x x2x c lim x12 16x2 22x 1 d lim h h2 2h 3h e lim x2 1x2 f lim x2 1x2 g lim k 1k13 1 h lim x0 a x2 a2x i lim x x3 2xx2 3 j lim x x3 x2 3x3 2 k lim x 2x2 xx2 9 04 Dada a função fx x2 x 6 a esboce seu gráfico b calcule sua taxa média de variação para x variando de 1 a 3 c desenhe a reta secante ao seu gráfico passando pelos pontos de abscissas 1 e 3 d calcule sua taxa média de variação para x variando de 1 a 2 e desenhe a reta secante ao seu gráfico passando pelos pontos de abscissas 1 e 2 f determine o coeficiente da reta tangente ao seu gráfico no ponto 16 05 Um objeto é largado do topo de um prédio de 50 metros de altura A altura h em metros do objeto t segundos após o início da queda é dada por h 50 2t2 a Qual é a velocidade média do objeto considerando os 2 primeiros segundos de queda b Qual sua velocidade em t 2 segundos 06 Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva y fx no ponto a b para os seguintes casos a fx 3x 1 a 2 e b 5 b fx 2 senx a π6 e b 05 c fx x3 x2 a 1 e b 0 d fx x 3 a 1 e b 2 07 A equação de queda livre na superfície terrestre é d 98t22 em que d é a distância em metros percorrida pelo corpo em queda e t é o tempo em segundos de queda Considere um objeto largado do alto de um penhasco de 100 m de altura Determine sua velocidade no instante t 5s 08 A área do círculo de raio r é dada por A π r2 Qual é a taxa de variação da área A em relação ao raio r quando este é igual a 2 m 09 Determine quando existirem as assíntotas dos gráficos das funções seguintes a fx 3x2 1 b gx sec x c st 1 1 x2 x d Vp sen pp e fx log x 10 Verifique se fx é contínua em x c a fx x3 2x 3 c 1 b fx xx 2 c 0 c fx log 2 x c 2 d fx ln x2 c 2 e fx sen2 π x c 0 11 Determine para quais valores cada uma das funções seguintes são contínuas a fx log x b fx 2x 4x 2 c fx 2x 4x2 1 d fx 2x2 5x 6 EXERCÍCIO 12 Derive cada uma das funções seguintes a fx 3x4 2x2 4x 10 b gx x3 3 x2 2 2x c fx 3x4 2x2 4x 10 d y 2sen x 3ex 1x e hx 5cos x x2 f y x2 ln x g y 5ex x2 5x 1 h vt 7 cos x tg x i y ln xt ex com k constante j tx cos x cotg x sec x 13 Demonstre as seguintes regras de derivação a ddx csc x csc x cotg x b ddx sec x sec x tg x c ddx cotg x csc2 x d ddx arc cos x 1 1 x2 14 Para cada uma das funções seguintes determine os intervalos para os quais ela é crescente e quando é decrescente a y x 15 b y 2x2 43 c y 1 x2 x 4 d y x3 3 5x2 2 6x 15 Nas relações a seguir encontre dydx a x 2y xy 3 0 b y3 x 5x2 y 7x 9 c 7y2 x x3 y2 2 0 d xt ln y yex 5 0 e x arc cos y 3 x2 f 3 lnxy 4 g x sen y y cos x 1 16 Uma população de bactérias pouco tempo após passar por certo tratamento começou a diminuir Se considerarmos t 0 h o instante em o tratamento foi finalizado a função que fornece a quantidade n de bactérias em relação ao tempo t é nt 900000 7000t 950t2 Com base em tais informações quais são as taxas de variação do número de bactérias n em função do tempo t para os instantes t 1 h t 3 h t 4 h e t 7 h 17 Num processo industrial a temperatura y de um componente t minutos após a finalização de sua produção é dada por y 50 2t 8 t 2 para 0 t 20 minutos a Quais são as temperaturas desse componente nos instantes 2 5 e 10 min após a finalização de sua produção b E quais as taxas de variação da temperatura nesses instantes 18 Quando ocorre um terremoto de magnitude x a energia y em joules propagada como onda sísmica na escala Richter obedece a relação log y 48 15x Nessa mesma escala a magnitude x de um terremoto de intensidade t é dada por x ln r ln r0 ln 10 em que r0 é a intensidade mínima usada para comparação Suponha r0 1 a Determine a energia propagada por um terremoto de intensidade 60 b Qual é a variação instantânea de energia em relação à magnitude c Qual é a variação instantânea de energia em relação à intensidade d Calcule a variação instantânea de energia em relação à intensidade quando esta é igual a 6 19 Determine o coeficiente angular das retas tangentes à curva y3 x2 x3 x y 0 nos pontos de abscissas x 0 e x 2 20 A derivada da função y kx3 2x2 x 1 quando x 1 é igual a 4 Determine o valor de k 21 Um objeto é lançado verticalmente a partir do solo e sua altura h em metros após t segundos é dada por ht t2 12t Utilizando a derivada dessa função determine em que instante o objeto atinge sua altura máxima