Forma Detalhada

Lista de Exercícios 03 Exercício 1 Para cada item calcule f g f g fg fg f o g g o f kf onde k é uma constante a fx 2x gx x2 1 d fx x 1 gx x 2 b fx 3x 2 gx x e fx x 2 gx x 3 c fx x1 x gx 1x f fx x3 gx 13x Exercício 2 Sejam f g funções dadas por fx 4 x2 e gx x2 3x Determine a domínio de f d domínio de fg b domínio de g e fgx c domínio de f g f g e fg f fgx Exercício 3 Sejam fx 2 3x x 1 5 e gx 5 x x2 x 1 10 Encontrar a g o f b f o g Exercício 4 Dadas as funções f e g determine as compostas f o g e g o f e seus respectivos domínios a fx 3x e gx 3x 2 d fx x2 2 e gx x b fx x 2 e gx 4x2 1 e fx 3x2 2 e gx x 4 c fx x e gx 3x2 2 Exercício 5 Dadas as funções fx x2 2 se x 1 4 x2 se x 1 e gx 2 3x determine as leis que definem f o g e g o f Exercício 6 Sabendo que f g o h nos itens a c e d encontre a função h e no item b a função g a fx x2 1 gx x 1 c fx a bx gx x a b fx x 2 hx x 2 d fx x2 3x 5 gx x Exercício 7 Sendo fx ax b para quais valores de a e b temse f o fx 4x 9 Exercício 8 Sejam fx x 4 e gx 12 x 1 x 3 Calcular f o g dê o domínio e o conjunto imagem de fx gx e f o gx Exercício 9 Esboçar o gráfico das seguintes funções quadráticas a fx x2 4x 3 d fx 2x2 8x 6 b fx x2 6x 8 e fx x2 4x 3 c fx x2 8x 12 f fx 2x2 8x 6 Exercício 10 Identificar as propriedades e características das seguintes funções a partir das suas representações gráficas domínio conjunto imagem a fx x2 8x 14 f fx 4 x3 b fx x2 4x 1 g fx x 2 4 c fx x 22 h fx 1x 2 d fx x 22 i fx 2x 3 e fx x3 4 j fx x 2 4 Exercício 11 Construir o gráfico determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções a fx x se 2 x 0 x se 0 x 2 c fx x3 se x 0 1 se 0 x 2 x2 x 2 b fx 0 se x 0 12 se x 0 1 x 0 1 A Dado fx 2x gx x2 1 Precisamos calcular 1 f g 2 f g 3 f g 4 fg 5 f o g 6 g o f 7 k f 1 f g f gx fx gx 2x x2 1 x2 2x 1 2 f g f gx fx gx 2x x2 1 2x x2 1 x2 2x 1 3 f g f gx fx gx 2x x2 1 2x3 2x 4 fg fgx fxgx 2xx2 1 5 f g f gx fgx fx² 1 2x² 1 2x² 2 6 g f g fx gfx g2x 2x² 1 4x² 1 7 k f k fx k fx k 2x 2kx Resumo 1 f gx x² 2x 1 2 f gx x² 2x 1 3 f gx 2x³ 2x 4 f gx 2x x²1 5 f gx 2x² 2 6 g fx 4x² 1 7 k fx 2kx B 1 f g f gx fx gx 3x 2 x 2 f g f gx fx gx 3x 2 x 3 f g f gx fx gx 3x 2 x 4 f g f gx fxgx 3x 2 x x 0 5 f g f gx fgx fx 3x 2 6 g f g fx gfx g3x 2 3x 2 7 k f k fx k fx k3x 2 3kx 2k Assim temos f g 3x 2 x f g 3x 2 x f g 3x 2x f g 3x 2x x 0 f g 3x 2 g f 3x 2 k f 3kx 2k C Dado fx x1x gx 1x 1 f g fx gx x1x 1x x²1xx1x x²x1x1x x²x1x²x 2 f g fx gx x1x 1x x²1xx1x x²x1x1x x²x1x²x 3 f g fx gx x1x 1x xx1x 11x 4 f g fxgx x1x 1x x1x x x²1x 5 f g fgx f1x 111x 1 x1x 1x xx1 1x1 6 g f gfx gx1x 1x1x 1xx 7 k f k fx k x1x kx1x Assim temos f g x2x1x2x f g x2 x 1x2 x f g 11x f g x21x f g 1x1 g f 1xx k f kx1x Dado fx x 1 e gx x 2 vamos calcular as operações solicitadas 1 f g f gx fx gx x 1 x 2 2 f g f gx fx gx x 1 x 2 x 1 x 2 3 f g f gx fx gx x 1 x 2 x 2x 1 4 f g f gx fxgx x 1x 2 5 f g f gx fgx fx 2 x 2 1 x 1 6 g f g fx gfx gx 1 x 1 2 7 k f k fx k fx kx 1 Dado fx x 2 gx x 3 1 f g f gx fx gx x 2 x 3 2 f g f gx fx gx x 2 x 3 3 f g f gx fx gx x 2 x 3 x 2x 3 x2 5x 6 4 f g f gx fxgx x 2x 3 x 2x 3 5 f g f gx fgx fx 3 x 3 2 6 g f g fx gfx gx 2 x 2 3 7 k f k fx k fx kx 2 F 1 fx gx x3 13x x3 x13 2 fx gx x3 13x x3 x13 3 fx gx x3 13x x3 x13 x3 13 x83 4 fxgx x313x x3 3x x3 x13 x3 13 x103 5 fgx f13x 13x3 1x 6 gfx gx3 13x3 1x 7 k fx k x3 kx3 Então as respostas são 1 f g x3 x13 2 f g x3 x13 3 f g x83 4 f g x103 5 f g 1x 6 g f 1x 7 k f kx3 2 A 4 x2 0 Resolvendo essa desigualdade x2 4 2 x 2 Assim o domínio de f é o intervalo fechado de 2 a 2 Em notação de intervalo 2 2 B x2 3x 0 Podemos fatorar a expressão xx 3 0 Agora analisamos os intervalos onde essa desigualdade é satisfeita 1 x 0 Neste caso x é negativo ou zero e x 3 é negativo Portanto o produto xx 3 é positivo ou zero 2 0 x 3 Neste caso x é positivo e x 3 é negativo Portanto o produto xx 3 é negativo 3 x 3 Neste caso x é positivo ou zero e x 3 é positivo ou zero Portanto o produto xx 3 é positivo ou zero Assim a desigualdade xx 3 0 é satisfeita quando x 0 ou x 3 Portanto o domínio de gx é Dg x R x 0 ou x 3 Em notação de intervalo Dg 0 3 1 Domínio de fx 4 x² Para que a raiz quadrada seja definida o radicando deve ser não negativo 4 x² 0 x² 4 2 x 2 Portanto o domínio de f é Df 2 2 2 Domínio de gx x² 3x Para que a raiz quadrada seja definida o radicando deve ser não negativo x² 3x 0 xx 3 0 Isso ocorre quando x 0 ou x 3 Portanto o domínio de g é Dg 0 3 3 Interseção dos domínios Df Dg Precisamos encontrar onde os domínios de f e g se sobrepõem Df 2 2 Dg 0 3 A interseção é Df Dg 2 0 Portanto o domínio de f g f g e f g é 2 0 Primeiro vamos encontrar os domínios de fx e gx individualmente Domínio de fx 4 x² Para que a raiz quadrada seja definida nos números reais o radicando deve ser não negativo 4 x² 0 x² 4 2 x 2 Então o domínio de fx é 2 2 Domínio de gx x² 3x Da mesma forma o radicando deve ser não negativo x² 3x 0 xx 3 0 Isso ocorre quando ambos os fatores são não negativos ou ambos são não positivos x 0 e x 3 0 x 3 x 0 e x 3 0 x 0 Então o domínio de gx é 0 3 Agora vamos encontrar a interseção dos domínios de fx e gx 2 2 0 3 2 0 Portanto a interseção dos domínios é 2 0 Agora precisamos garantir que gx 0 gx x² 3x 0 x² 3x 0 xx 3 0 x 0 ou x 3 Como x 0 está no intervalo 2 0 precisamos excluílo do domínio de fg No entanto como g0 0 devemos remover x 0 do domínio Portanto o domínio de fg é 2 0 Em resumo Domf 2 2 Domg 0 3 Domf Domg 2 0 gx 0 x 0 e x 3 Domfg 2 0 E Dado que fx 4 x² e gx x² 3x então f gx fx gx 4 x² x² 3x Podemos combinar as raízes quadradas f gx 4 x²x² 3x f gx 4 x²x² 3x 4x² 12x x4 3x³ f gx x4 3x³ 4x² 12x Portanto f gx x4 3x³ 4x² 12x