Funções Contínuas

Exercício 1 Encontre os pontos nos quais f é descontínua Em quais desses pontos f é contínua à direita à esquerda ou em nenhum deles esboce o gráfico de f fx x 1 se x 1 1x se 1 x 3 x 3 se x 3 Exercício 2 1 Use o Teorema do Valor Intermediário para demostrar que existe uma raiz da equação sinx x² x no intervalo 1 2 2 Existe solução para a equação dada no intervalo 1 15 Exercício 3 Seja gx 2x² 5x 3x 3 se x 3 6 se x 3 A função g é contínua em 3 Justifique sua resposta Exercício 1 Encontre os pontos nos quais f é descontínua Em quais desses pontos f é contínua à direita à esquerda ou em nenhum deles esboce o gráfico de f fx x 1 se x 1 1x se 1 x 3 x 3 se x 3 Analisaremos cada intervalo Para x 1 temos que fx x 1 que é um polinômio o qual é contínuo Para 1 x 3 temos fx 1x a qual é descontínua em x 0 Além disso veja que para x próximo de 1 temos limx1 fx limx1 1x 1 limx1 fx limx1 x 1 2 Como limx1 fx limx1 fx f1 2 então fx é descontínua em x 1 Por outro lado em x próximo de 3 temos limx3 fx limx3 1x 13 limx3 fx limx3 x 3 3 3 0 0 Logo como limx3 fx limx3 fx f3 então fx é descontínua em x 3 Para x 3 fx x 3 como x 3 0 pois x 3 então fx é bem definida e logo continua em x 3 Portanto fx é descontínua em x 0 x 1 x 3 A descontinuidade em x 0 se justifica pelos laterais que são limx0 fx limx0 1x limx0 fx limx0 1x os quais mostram a divergência que aparece para x 0 Exercício 2 1 Use o Teorema do Valor Intermediário para demostrar que existe uma raiz da equação sinx x² x no intervalo 1 2 2 Existe solução para a equação dada no intervalo 1 15 Definamos fx x² x sinx Agora veja que f1 1² 1 sin1 sin1 0 f2 2² 2 sin2 2 sin2 0 pois sinx 1 x R Como f1f2 0 e fx é uma função contínua segue que pelo Teorema do valor intermediário existe k 1 2 tq fk 0 Logo fk 0 k² k sink 0 k² k sink e k é a raiz procurada para a expressão inicialmente dada Exercício 2 1 Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que existe uma raiz da equação sinx x2 x no intervalo 12 2 Existe solução para a equação dada no intervalo 115 No intervalo 1 e 15 teríamos f15 152 15 sin15 075 sin15 024 Logo como f1f15 0 e fx é contínua não existe ponto k tq fk 0 em 115 portanto não existe raiz para a Equação dada em 115 Exercício 3 Seja gx 2x2 5x 3x3 se x 3 6 se x 3 A função g é contínua em 3 Justifique sua resposta Para vermos a continuidade do gx em x3 basta vermos se a igualdade Lim x3 gx Lim x3 2x2 5x 3x 3 g3 6 Então veja que 2x2 5x 3 0 x12 5 25 4 2 34 x12 5 25 244 5 74 3 24 12 Com isso podemos escrever 2x2 5x 3 2x3x12 Logo o limite fica Lim x3 gx Lim x3 2x2 5x 3x 3 Lim x3 2 x3x12x3 Lim x3 2x12 23 12 6 1 7 Logo como Lim x3 gx 7 g3 6 segue que gx é descontínua em x3 Exercício 1 Encontre os pontos nos quais f é descontínua Em quais desses pontos f é contínua à direita à esquerda ou em nenhum deles esboce o gráfico de f fx x1 se x 1 1x se 1 x 3 x3 se x 3 Analizaremos cada intervalo Para x 1 temos que fx x1 que é um polinômio o qual é contínuo Para 1 x 3 temos fx 1x a qual é descontínua em x0 Além disso veja que para x próximo de 1 temos Lim x1 fx Lim x1 1x 1 Lim x1 fx Lim x1 x1 2 Como Lim x1 fx Lim x1 fx f1 2 então fx é descontínua em x1 Por outro lado em x próximo de 3 temos Lim x3 fx Lim x3 1x 13 Lim x1 fx lim x3 x3 33 0 0 Logo como Lim x3 fx Lim x3 fx f3 então fx é descontínua em x3 Para x 3 fx x3 como x3 0 pois x 3 então fx é bem definida e logo continua em x 3 Portanto fx é descontínua em x 0 x 1 x 3 A descontinuidade em x0 se justifica pelos laterais que são Lim x0 fx Lim x0 1x Lim x0 fx Lim x0 1x os quais mostram a divergência que aparece para x0 Exercício 2 1 Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que existe uma raiz da equação sinx x2 x no intervalo 12 2 Existe solução para a equação dada no intervalo 115 Definamos fx x2 x sinx Agora veja que f1 12 1 sin1 sin1 0 f2 22 2 sin2 2 sin2 0 pois sinx 1 x R Como f1 f2 0 e fx é uma função contínua segue que pelo Teorema do Valor intermediário existe k 12 tq fk 0 Logo fk 0 k2 k sink 0 k2 k sink e k é a raiz procurada para a expressão inicialmente dada Exercício 2 1 Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que existe uma raiz da equação sinx x2 x no intervalo 12 2 Existe solução para a equação dada no intervalo 115 No intervalo 1 e 15 teríamos f15 152 15 sin15 075 sin15 024 Logo como f1 f15 0 e fx é contínua não existe ponto k tq fk 0 em 1 15 portanto não existe raiz para a equação dada em 1 15 Exercício 3 Seja gx 2x2 5x 3x3 se x 3 6 se x 3 A função g é contínua em 3 Justifique sua resposta Para vermos a continuidade do gx em x3 basta vermos se a igualdade Lim x3 gx Lim x3 2x2 5x 3x3 g3 6 Então veja que 2x2 5x 3 0 x12 5 25 4 2 34 x12 5 25 244 5 74 3 24 12 Com isso podemos escrever 2x2 5x 3 2 x 3 x 12 Logo o limite fica Lim x3 gx Lim x3 2x2 5x 3x3 Lim x3 2 x 3 x 12x3 Lim x3 2 x 12 2 3 12 6 1 7 Logo como Lim x3 gx 7 g3 6 segue que gx é descontínua em x 3