Geometria dos Pontos Equidistantes de Três Pontos Não Colineares

1a Questao 1 Descreva o lugar geom etrico dos pontos equidistantes de tres pontos nao co lineares no espaco Notemos que o lugar geom etrico dos pontos equidistantes entre dois pontos distintos A e B e o plano αAB perpendicular ao segmento AB que cont em o ponto m edio MAB deste denominado plano mediador de AB gura abaixo O mesmo ocorre com os pontos A e C e com os pontos B e C Mais precisamente os pontos equidistantes entre dois pontos distintos A e C e o plano αAC perpendicular ao segmento AC que cont em o ponto m edio MAC deste o plano mediador de AC e os pontos equidistantes entre dois pontos distintos B e C e o plano αBC perpendicular ao segmento BC que cont em o ponto m edio MVC deste plano mediador de BC Portanto o lugar geom etrico dos pontos equidistantes dos pontos A B e C nao colineares ser a a intersec cao dos tres planos mediadores acima ou seja αAB αAC αBC que nos fornece uma reta perpendicular ao plano que cont em o triangulo ABC e que cont em o circuncentro encontro das mediatrizes dos lados do triangulo do mesmo Na gura abaixo os pontos A B e C estao no plano da folha ou ainda o triangulo ABC est a nesse plano Resolucao 2 Os planos αAB αAC e αBC sao perpendiculares ao plano da folha e cont em os pontos m edios MAB MAC e MBC dos segmentos de retas AB AC e BC respectivamente Na gura acima as retas em marrom azul e vermelho representam as interse coes dos αAB αAC e αBC com o plano da folha respectivamente A interse cao dessa tres retas e o circuncentro do triangulo ABC que e o ponto do plano da folha que e equidistante dos pontos A B e C pois as retas sao as mediatrizes dos lados do triangulo ABC Logo a reta perpendicular a plano da folha contendo o circuncentro do triangulo ABC ser a o lugar geom etrico dos pontos equidistantes dos pontos A B e C dados gura abaixo Sejam A e B dois pontos no espaco Descreva o lugar geom etrico dos pontos P do espa co tais que o angulo A PB seja congruente a um angulo reto Notemos que no plano o triangulo APB ser a retangulo se e somente se o segmento AB e diametro de uma circunferencia que cont em os pontos A B e P gura abaixo Logo o triangulo triangulo APB ser a retangulo se e somente se o ponto P est a a uma 1 distancia igual a AB 2 Portanto o lugar geom etrico dos pontos P de modo que o o angulo A PB seja congruente a um angulo reto ser a uma esfera de centro no ponto m edio M do segmento AB e raio de Resolucao 2a Questao F I M comprimento R 3 1 2 AB gura abaixo